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Nó toral 3-D

EureleA (Um Prêmio em forma de nó toral (2,3)).

Enlace toral(2,8)

Na teoria dos nós, um nó toral é um tipo especial de nó que pertence a uma superfície de um toro não atada em R³. Da mesma forma, um enlace toral é um enlace que se encontra na superfície de um toro de mesma forma. Cada nó toral é especificado por um par de números inteiros, que são primos entre si  p e q. Um enlace toral surge se p e q não são primos entre si (caso em que o número de componentes é o  mdc (p, q)). Um nó toral é trivial se, e somente se, ou p ou q é igual a 1 ou -1. O exemplo mais simples de um nó não trivial é a do nó toral (2,3), também conhecido como o nó de trevo.

Nó toral (2,-3) conhecido como nó de trevo.

Representação geométrica |

Um nó toral pode ser composto geometricamente em várias formas que são topologicamente equivalentes, mas geometricamente distintas. A convenção utilizada neste artigo e seus números, é a seguinte.

O nó toral (p,q) sendo q a quantidade de vezes que gira em torno de um círculo no interior do toro,
e p a quantidade de vezes que gira em torno de seu eixo de simetria de rotação. Se p e q não são relativamente primos, então temos um toro de vínculo com mais de um componente.

A direção em que os fios do nó enrola em torno do too, também está sujeito a diferentes convenções. O mais comum é fazer com que os fios formem uma forma de parafuso para direita para que p, q > 0.^[1][2][3].

O nó toral (p,q) pode ser dado pela parametrização

x=rcos⁡(pϕ)y=rsin⁡(pϕ)z=−sin⁡(qϕ){displaystyle {begin{aligned}x&=rcos(pphi )\y&=rsin(pphi )\z&=-sin(qphi )end{aligned}}}

onde r=cos⁡(qϕ)+2{displaystyle r=cos(qphi )+2} e 0<ϕ<2π{displaystyle 0<phi <2pi }. Esta situa-se na superfície do toro por (r−2)2+z2=1{displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1} (em coordenadas cilíndricas).

Outras parametrizações também são possíveis, porque os nós são definidos sobre contínuas deformações. As ilustrações do nó toral (2,3) e (3,8) podem ser obtidas tomando-se r=cos⁡(qϕ)+4{displaystyle r=cos(qphi )+4} e no caso do nó (2,3) subtraindo-se, respectivamente, 3cos⁡((p−q)ϕ){displaystyle 3cos((p-q)phi )} e 3sin⁡((p−q)ϕ){displaystyle 3sin((p-q)phi )} acima das parametrizações de x e y. O último generaliza-se suavemente para quaisquer primos entre si , p,q satisfazendo p<q<2p{displaystyle p<q<2p}.

Propriedades |

Diagrama de um nó toral (3,-8).

Um nó toral é trivial se, e somente se, ou p ou q é igual a 1 ou-1.

Cada nó toral não trivial é primo e quiral.

O nó toral (p,q) é equivalente ao nó toral (q,p). Isso pode ser comprovado pelo movimento dos fios na superfície do toro, que é muito bem ilustrado «aqui». sketchesoftopology.wordpress.com . O  nó (p,−q) é o contrário (imagem espelhada) do nó (p,q). O nó (−p,−q)  é equivalente a (p,q), exceto pela inversão da orientação.^[4][5][6]

O nó toral (3, 4) aberto sobre um superfície do toro

Qualquer nó toral(p,q) pode ser feita a partir de uma trança fechada com p fios. O expressão da trança adequada é ^[4]

(σ1σ2⋯σp−1)q.{displaystyle (sigma _{1}sigma _{2}cdots sigma _{p-1})^{q}.}

O número de cruzamentos de a no nó toral(p,q) com p,q > 0 é dada por

c = min((p−1)q, (q−1)p).

O gênero de um nó toral com p,q > 0 é

g=12(p−1)(q−1).{displaystyle g={frac {1}{2}}(p-1)(q-1).}

O polinômio de Alexander de um nó toral é

(tpq−1)(t−1)(tp−1)(tq−1).{displaystyle {frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}}.}

O polinômio de Jones (destros) do nó toral é dado por

t(p−1)(q−1)/21−tp+1−tq+1+tp+q1−t2.{displaystyle t^{(p-1)(q-1)/2}{frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}.}

O complemento de um nó toral na 3-esfera é uma variedade de fibra Seifert, fibrado sobre o disco com duas fibras singulares.

Tomando Y como a concavidade p de um chapéu de burro com um disco removido de seu interior, Z sendo a concavidade q de um chapéu de burro com um disco removido e o seu interior, e X o quociente do espaço obtido através da identificação de Y e Z , ao longo de seu limite de círculo. O complemento do nó de um nó toral (p, q)  retrai deformações para o espaço X. Portanto, o grupo de nós de um nó toral tem a seguinte característica:

⟨x,y∣xp=yq⟩.{displaystyle langle x,ymid x^{p}=y^{q}rangle .}

Nós torais são apenas nós cujo grupos de nó não-triviais do centro (o que é um ciclo infinito, gerado pelo elemento na apresentação acima).

O fator de alongamento de um nó toral (p,q) , como uma curva no espaço Euclidiano, é Ω(min(p,q)), para o  nó toral que estiver acoplado em fatores de alongamento. O pesquisador John Pardon ganhou em 2012 o prêmio Morgan por sua pesquisa provar este resultado, resolvendo um problema originalmente colocado por Mikhail Gromov.^[7][8]

Ligação de hipersuperfícies complexas |

O nó toral (p,q) surge quando considera-se o enlace de uma isolada hipersuperfície complexa singular. Uma intersecção de uma hipersuperfície complexa com uma hiperesfera, centrada no ponto singular isolado, e com o raio suficientemente pequeno para que ele não inclua e nem encontre, quaisquer outros pontos singulares. A intersecção dá uma subvariedade da hiperesfera.

Seja p e q inteiros, primos entre si e maiores ou iguais a dois. Considere a função holomorfa f:C2→C{displaystyle f:mathbb {C} ^{2}to mathbb {C} } dada por f(w,z):=wp+zq.{displaystyle f(w,z):=w^{p}+z^{q}.} Temos Vf⊂C2{displaystyle V_{f}subset mathbb {C} ^{2}} sendo o conjunto (w,z)∈C2{displaystyle (w,z)in mathbb {C} ^{2}} tal que f(w,z)=0.{displaystyle f(w,z)=0.}Dado um número real 0<ε≪1,{displaystyle 0<varepsilon ll 1,} definimos o real na 3-esfera Sε3⊂R4↪C2{displaystyle mathbb {S} _{varepsilon }^{3}subset mathbb {R} ^{4}hookrightarrow mathbb {C} ^{2}} como dado por |w|2+|z|2=ε2.{displaystyle |w|^{2}+|z|^{2}=varepsilon ^{2}.} A função f{displaystyle f} tem um ponto crítico isolado em (0,0)∈C2{displaystyle (0,0)in mathbb {C} ^{2}} visto que ∂f/∂w=∂f/∂z=0{displaystyle partial f/partial w=partial f/partial z=0} se, e somente se w=z=0.{displaystyle w=z=0.} Assim, consideramos a estrutura Vf{displaystyle V_{f}} fechada em (0,0)∈C2.{displaystyle (0,0)in mathbb {C} ^{2}.} Para fazer isso, consideramos a interseção Vf∩Sε3⊂Sε3.{displaystyle V_{f}cap mathbb {S} _{varepsilon }^{3}subset mathbb {S} _{varepsilon }^{3}.} Essa intersecção é chamada também de enlace de sigularidade f(w,z)=wp+zq.{displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}.} O enlace de f(w,z)=wp+zq{displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}}, onde p e q são primos entre si, e ambos maiores ou iguais a dois, sendo exatamente o nó toral(p, q)^[9].

Ver também |

• Nó de torção


• Nó de trevo


• Nó figura oito

Referências

Ligações externas |

• 
  «Renderizador em Actionscript do nó toral». ww17.flexr.org 
  


• 
  «Divertindo-se com nó toral (p,q)». blackpawn.com