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Comutatividade é uma propriedade de operações binárias, ou de ordem mais alta, em que a ordem dos operandos não altera o resultado final. Ou popularmente, onde a ordem dos fatores não altera o produto.

Por mais que a noção comum de aritmética possam sugerir que esta propriedade seja óbvia, ela é importante para organizar os tipos de operações de grupos de acordo a propriedade de comutatividade ou não. E mesmo na aritmética existem exemplos de operações que não são comutativas, como a subtração e divisão.

Definição |

Dado um conjunto qualquer S e um operação binária f, dizemos que f é comutativa se:

f(x,y)=f(y,x) ∀ x,y∈S{displaystyle f(x,y)=f(y,x) forall x,yin S}

A notação matemática mais comum para operações binárias é através de um símbolo gráfico entre os dois operandos, por exemplo, escreve-se:

f(x,y)=x ♢ y{displaystyle f(x,y)=x diamondsuit y,}

Usando esta notação, a definição de comutatividade fica:

x ♢ y=y ♢ x ∀ x,y∈S{displaystyle x diamondsuit y=y diamondsuit x forall x,yin S,}

Exemplos |

Os exemplos mais comuns são:

• A adição de números naturais, racionais, reais e complexos.


• A multiplicação de números naturais, racionais, reais e complexos.


• 
  Grupos abelianos, são grupos no qual a operação é comutativa.


• As funções (que podem ter mais de um argumento) mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum, para números inteiros positivos, são comutativas: mdc(42, 626, 452) = mdc(452, 42, 626) etc.

Na multiplicação,a propriedade comutativa troca os números, mas independentemente da troca, o resultado fica igual.

Ver também |

• Anticomutatividade


• Associatividade

Referências

• Eric W. Weisstein, Commutative em MathWorld