Bdtyktl

Esta página ou secção cita fontes confiáveis e independentes, mas que não cobrem todo o conteúdo, o que compromete a verificabilidade (desde Novembro de 2011). Por favor, insira mais referências no texto. Material sem fontes poderá ser removido. —Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)

 Nota: Se procura pelo(a) o holomorfo de um fungo, veja Teleomorfo.

Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano complexo C{displaystyle mathbb {C} } com valores em C{displaystyle mathbb {C} } que são diferenciáveis em cada ponto.^[1]

Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa",^[1] entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto a∈C{displaystyle ain mathbb {C} }" significa não só diferenciável em a{displaystyle a}, mas diferenciável em algum disco aberto centrado em a{displaystyle a}, no plano complexo.

Definição |

Se U{displaystyle U} é um subconjunto aberto de C{displaystyle mathbb {C} } e f:U→C{displaystyle f:Uto mathbb {C} } é uma função^[2], dizemos que f{displaystyle f} é diferenciável complexa ou C{displaystyle mathbb {C} }-diferenciável no ponto z0∈U{displaystyle z_{0}in U} se o limite

f′(z0)=limz→z0f(z)−f(z0)z−z0{displaystyle f'(z_{0})=lim _{zrightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) over z-z_{0}}}

existir.^[3]

Este limite se toma aqui sobre todas as sucessões de números complexos que se aproximam de z0{displaystyle z_{0}}, e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número f′(z0){displaystyle f'(z_{0})}. Intuitivamente, se f{displaystyle f} é diferenciável complexa em z0{displaystyle z_{0}} e nas proximidades ao ponto z0{displaystyle z_{0}} da direção r{displaystyle r}, então as imagens se aproximarão ao ponto f(z0){displaystyle f(z_{0})} a partir da direção f′(z0)r{displaystyle f'(z_{0})r}, onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a diferenciabilidade em caso real: é linear e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.^[3]

Se f{displaystyle f} é complexa diferenciável em cada ponto z0∈U{displaystyle z_{0}in U}, dizemos que f{displaystyle f} é holomorfa em U{displaystyle U}.^[1]

Propriedades |

A derivada de uma função complexa tem várias propriedades análogas à derivada de uma função real, como, por exemplo:

• (f+g)′=f′+g′{displaystyle (f+g)'=f'+g'}


• (fg)′=f′g+fg′{displaystyle (fg)'=f'g+fg'}

etc. ^[3]

Algumas propriedades de funções holomorfas, porém, não tem equivalentes nas funções reais. Por exemplo:

• Se a parte real, ou a parte imaginária, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.^[1]
  


• Se o módulo, ou o argumento, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.^[3] O argumento, aqui, é o ângulo θ{displaystyle theta } obtido pela transformação z=r(cos⁡θ+isin⁡θ){displaystyle z=r(cos theta +isin theta ),}
  

Pelas propriedades acima, a função f:C→R0+{displaystyle f:mathbb {C} to mathbb {R} _{0}^{+}}, dada por f(z)=|z|{displaystyle f(z)=|z|,} não é holomorfa em nenhum aberto (pode-se provar diretamente que esta função não é diferenciável em nenhum ponto^[3]).

Além disso, se uma função f:U→C{displaystyle f:Uto mathbb {C} } é holomorfa no aberto U⊂C{displaystyle Usubset mathbb {C} } e é dada porf(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y){displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}, então satisfaz as equações de Cauchy-Riemann (∂u∂x=∂v∂y{displaystyle {big (}{frac {partial u}{partial x}}={frac {partial v}{partial y}}} e ∂u∂y=−∂v∂x){displaystyle {frac {partial u}{partial y}}=-{frac {partial v}{partial x}}{big )}} para todo o z0∈U{displaystyle z_{0}in U}. O recíproco não é, em geral, verdade. A condição torna-se necessária e suficiente se for exigido que u{displaystyle u} e v{displaystyle v} sejam funções de classe C1{displaystyle C^{1}}no ponto (x0,y0)∈R2{displaystyle (x_{0},y_{0})in mathbb {R} ^{2}} tal que z0=x0+iy0{displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}.

Ver também |

• Função antiholomorfa

Referências

• Portal da matemática

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e