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Conjuntos Numéricos.

O conjunto dos números reais R{displaystyle mathbb {R} ,} é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.^[1][2]

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero, os positivos e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.

Um Número Real é um valor que representa uma quantidade ao longo de uma linha contínua, incluindo tanto os Números Racionais quanto os Números Irracionais. Os números reais são pontos sobre uma linha reta infinita, chamada de Reta Numérica ou Reta Real, onde os pontos correspondentes aos Números Inteiros são igualmente espaçados.

Os números reais são incontáveis, isto é, enquanto que o conjunto de todos os Números Naturais e o conjunto de todos os Números Reais são conjuntos infinitos, não é possível haver função de um-pra-um entre eles. A cardinalidade do conjunto de todos os Números Reais é infinitamente maior do que a cardinalidade do conjunto de todos os Números Naturais.

Denomina-se corpo dos números reais a coleção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais,^[3] formado pelo corpo de frações associado aos inteiros números racionais , a coleção de elementos dos números irracionais e a norma associada ao infinito.

Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada.

Localização Geométrica dos pontos da reta |

Um eixo cartesiano é uma reta euclidiana na qual foram escolhidas uma orientação e uma unidade de medida, ou seja, é formado por uma reta euclidiana r{displaystyle r}, e pela escolha de dois pontos distintos sobre ela, denotados por O{displaystyle O} e U{displaystyle U}, sendo O{displaystyle O} a origem do eixo e U{displaystyle U} o ponto unitário do eixo. O ponto U{displaystyle U} serve para determinar uma unidade de medida para os segmentos de reta do eixo, e também determina um sentido de percurso para o segmento. O sentido de percurso do eixo que vai de O{displaystyle O} para U{displaystyle U} (OU{displaystyle OU}) é chamado de sentido positivo, enquanto que o sentido oposto (U{displaystyle U}O{displaystyle O}), é chamado de sentido negativo. Observação: Denotando por (r,O,U){displaystyle (r,O,U)} o eixo determinado pela reta r{displaystyle r}, pela origem O{displaystyle O} e pelo ponto unitário U{displaystyle U}, fia subentendido que isto determina OU{displaystyle OU} como unidade de medida.

Ordenação dos números reais |

A expansão decimal de um número absoluto nos diz até quantas unidades, décimos, centésimos, etc., cabem no mesmo. Em particular, dado um real absoluto x=m,a1a2a3...{displaystyle x=m,a_{1}a_{2}a_{3}...}, podemos escrever:

{displaystyle qquad }m,a1a2a3...an≤x≤m,a1a2a3...an+110n{displaystyle m,a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}leq xleq m,a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}+{1 over 10^{n}}} Assim, pode-se dizer que a definição da expansão decimal traz uma relação de ordem entre o real absoluto x{displaystyle x} e os números racionais que se obtém truncando sua expansão decimal. Isso permite estabelecer uma relação de ordem entre dois reais absolutos quaisquer, a partir da comparação entre as respectivas expansões decimais. Dados dois números reais absolutos distintos, x{displaystyle x} e y{displaystyle y}, escrevemos suas expansões decimais:

{displaystyle qquad }x=m,a1a2a3...{displaystyle x=m,a_{1}a_{2}a_{3}...}

{displaystyle qquad }y=n,b1b2b3...{displaystyle y=n,b_{1}b_{2}b_{3}...} Para definirmos quem é o maior numero entre x{displaystyle x} e y{displaystyle y}, iniciamos comparando m{displaystyle m} com n{displaystyle n}. -Se m<n{displaystyle m<n}, então sabemos que x{displaystyle x} é menor que y{displaystyle y}, ou seja, x<y{displaystyle x<y} -Se n<m{displaystyle n<m}, então sabemos que y{displaystyle y} é menor que x{displaystyle x}, ou seja y<x{displaystyle y<x} -Se m=n{displaystyle m=n}, estão é necessário comparar a1{displaystyle a_{1}} com b1{displaystyle b_{1}}. Se a1<b1{displaystyle a_{1}<b_{1}}, então x<y{displaystyle x<y}, e se b1<a1{displaystyle b_{1}<a_{1}}, então y<x{displaystyle y<x}. No caso de a1=b1{displaystyle a_{1}=b_{1}}, ou seja, m=n{displaystyle m=n} e a1=b1{displaystyle a_{1}=b_{1}}, compara-se a2{displaystyle a_{2}} com b2{displaystyle b_{2}}, aplicando os mesmos critérios anteriores, sucessivamente até chegar a uma conclusão an≠bn{displaystyle a_{n}neq b_{n}}, caso x≠y{displaystyle xneq y}.

Intervalos encaixantes e evanescentes |

Intervalo encaixante |

Dada a sequência Xn=[an,bn]{displaystyle X_{n}=[a_{n},b_{n}]} de intervalos fechados tais que X1⊇X2⊇X3⊇...Xn⊇Xn+1⊇...{displaystyle X_{1}supseteq X_{2}supseteq X_{3}supseteq ...X_{n}supseteq X_{n+1}supseteq ...}, existe pelo menos um ponto C∈R{displaystyle Cin mathbb {R} } que pertence a todos os intervalos, isto é, C{displaystyle C} pertence a interseção e todos os intervalos.

A propriedade dos intervalos encaixantes expressa a ideia de que R{displaystyle mathbb {R} } não tem buracos, pois se existisse, cercando-o cada vez mais de perto por números an<bn{displaystyle a_{n}<b_{n}}, obteríamos uma sequência de intervalos fechados Xn=[an,bn]{displaystyle X_{n}=[a_{n},b_{n}]} com interseção vazia.

Intervalo evanescente |

Uma sequência (infinita) de segmentos da reta X1,X2...Xn,Xn+1...{displaystyle X_{1},X_{2}...X_{n},X_{n+1}...} é evanescente se for encaixante, e se para cada segmento de reta AB{displaystyle AB}(não reduzido a um único ponto) que escolhermos, sempre pudermos encontrar um n{displaystyle n} tal que o n-ésimo segmento da sentença satisfaça:

{displaystyle qquad } Xn<AB{displaystyle X_{n}<AB}

Sempre que X1,X2,X3...{displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}...} for uma sequência evanescente de segmentos de reta, podemos afirmar que existe exatamente um ponto comum a todos os segmentos da sequência. Intuitivamente este postulado ou axioma diz que a reta euclidiana é "contínua", isto é, não tem "buracos".

Adição de números reais |

Adição de reais positivos |

Dados x{displaystyle x} e y{displaystyle y} números reais positivos, com expansões decimais

{displaystyle qquad }x=m,a1a2a3...{displaystyle x=m,a_{1}a_{2}a_{3}...}

{displaystyle qquad }y=M,b1b2b3...{displaystyle y=M,b_{1}b_{2}b_{3}...}

sejam, para cada n≥1{displaystyle ngeq 1}, os números racionais

{displaystyle qquad }xn=m,a1,a2...an{displaystyle x_{n}=m,a_{1},a_{2}...a_{n}} e yn=M,b1,b2...bn{displaystyle y_{n}=M,b_{1},b_{2}...b_{n}}.

A adição dos números reais x{displaystyle x} e y{displaystyle y} produz uma soma, denotada por x+y{displaystyle x+y}, e definida como sendo o único número real comum a todos elementos da sequência de intervalos encaixantes e evanescentes:

{displaystyle qquad }[xn+yn,xn+yn+210n]{displaystyle [x_{n}+y_{n},x_{n}+y_{n}+{2 over 10^{n}}]}

Essa definição nos fornece aproximações racionais de x+y{displaystyle x+y} tão precisas quanto quisermos. Basta notar que xn+yn{displaystyle x_{n}+y_{n}} e xn+yn+210n{displaystyle x_{n}+y_{n}+{2 over 10^{n}}} são aproximações racionais ,por falta e por excesso, do número real x+y{displaystyle x+y}, e que o "erro" pode ser menor o quanto quisermos.

Adição de reais negativos |

A adição de dois números reais negativos produz uma soma x+y{displaystyle x+y} que é obtida por meio da adição dos módulos de x{displaystyle x} e y{displaystyle y}:

{displaystyle qquad }x+y=−(|x|+|y|){displaystyle x+y=-(leftvert xrightvert +leftvert yrightvert )}

Por exemplo, para x=−2,79323189{displaystyle x=-2,79323189} e y=−13,83452153{displaystyle y=-13,83452153}:

{displaystyle qquad }{displaystyle quad }x+y=−(|−2,79323189|+|−13,83452153|){displaystyle x+y=-(leftvert -2,79323189rightvert +leftvert -13,83452153rightvert )}

{displaystyle qquad }⇒{displaystyle Rightarrow }x+y=−(2,79323189+13,83452153){displaystyle x+y=-(2,79323189+13,83452153)}

{displaystyle qquad }⇒{displaystyle Rightarrow }x+y=−16,62775342{displaystyle x+y=-16,62775342}

Adição de reais de sinais opostos |

Dados x{displaystyle x} um número real positivo e y{displaystyle y} um número real negativo, com expansões decimais:

{displaystyle qquad }x=m,a1a2a3...{displaystyle x=m,a_{1}a_{2}a_{3}...}

{displaystyle qquad }y=−M,b1b2b3...{displaystyle y=-M,b_{1}b_{2}b_{3}...}

Sejam os números racionais:

{displaystyle qquad }xn=m,a1a2...an{displaystyle x_{n}=m,a_{1}a_{2}...a_{n}} e |y|n=M,b1b2...bn{displaystyle leftvert yrightvert _{n}=M,b_{1}b_{2}...b_{n}}

A adição de um número real positivo x{displaystyle x} e o real negativo y{displaystyle y} produz uma soma, denotada por x+y{displaystyle x+y}, e definida como sendo o único número real comum a todos os elementos da sequência de intervalos encaixante e evanescente:

{displaystyle qquad }[xn−|y|n−110n,xn−|y|n+110n]{displaystyle {Biggl [}x_{n}-leftvert yrightvert _{n}-{1 over 10^{n}},x_{n}-leftvert yrightvert _{n}+{1 over 10^{n}}{Biggr ]}}

Exemplo:

Ao somar 1,222...+(−2,111){displaystyle 1,222...+(-2,111)}, obtemos:

{displaystyle qquad }x1−|y|1=1,2−2,1=−0,9⇒[−1,0;−0,8]{displaystyle x_{1}-leftvert yrightvert _{1}=1,2-2,1=-0,9Rightarrow [-1,0;-0,8]}

{displaystyle qquad }x2−|y|2=1,22−2,11=−0,89⇒[−0,90;−0,88]{displaystyle x_{2}-leftvert yrightvert _{2}=1,22-2,11=-0,89Rightarrow [-0,90;-0,88]}

{displaystyle qquad }x3−|y|3=1,222−2,111=−0,889⇒[−0,890;−0,888]{displaystyle x_{3}-leftvert yrightvert _{3}=1,222-2,111=-0,889Rightarrow [-0,890;-0,888]}

{displaystyle qquad }x4−|y|4=1,2222−2,1110=−0,8888⇒[−0,8889;−0,8887]{displaystyle x_{4}-leftvert yrightvert _{4}=1,2222-2,1110=-0,8888Rightarrow [-0,8889;-0,8887]}

e prosseguindo semelhantemente, temos uma sequência encaixante e evanescente.

Multiplicação de números reais |

Multiplicação de reais positivos |

Dados x{displaystyle x} e y{displaystyle y} números reais positivos, com expansões decimais

{displaystyle qquad }x=m,a1a2...{displaystyle x=m,a_{1}a_{2}...}

{displaystyle qquad }y=M,b1b2...{displaystyle y=M,b_{1}b_{2}...}

Seja, para cadan≥1{displaystyle ngeq 1}, os números racionais

xn=m,a1a2...an{displaystyle x_{n}=m,a_{1}a_{2}...a_{n}} e yn=M,b1b2...bn{displaystyle y_{n}=M,b_{1}b_{2}...b_{n}}

A multiplicação dos números x{displaystyle x} e y{displaystyle y} produz um resultado chamado produto, denotado por x⋅y{displaystyle xcenterdot y}, é definido como sendo o único número real comum a todos os elementos da sequência de intervalos encaixante e evanescente:

[xnyn,(xn+110n)(yn+110n)]{displaystyle {Bigl [}x_{n}y_{n},{Bigl (}x_{n}+{1 over 10^{n}}{Bigr )}{Bigl (}y_{n}+{1 over 10^{n}}{Bigr )}{Bigr ]}}

Exemplo:

{displaystyle qquad }7⋅37=3{displaystyle 7centerdot {frac {3}{7}}=3}

{displaystyle qquad }x1y1=7,0⋅0,4=2,8{displaystyle x_{1}y_{1}=7,0centerdot 0,4=2,8} e 7,1⋅0,5=3,55⇒[2,8;3,55]{displaystyle 7,1centerdot 0,5=3,55Rightarrow [2,8;3,55]}

{displaystyle qquad }x2y2=7,00⋅0,42=2,94{displaystyle x_{2}y_{2}=7,00centerdot 0,42=2,94} e 7,01⋅0,43=3,0143⇒[2,94;3,0143]{displaystyle 7,01centerdot 0,43=3,0143Rightarrow [2,94;3,0143]}

{displaystyle qquad }x3y3=7,000⋅0,428=2,996{displaystyle x_{3}y_{3}=7,000centerdot 0,428=2,996} e 7,001⋅0,429=3,003429⇒[2,996;3,003429]{displaystyle 7,001centerdot 0,429=3,003429Rightarrow [2,996;3,003429]}

{displaystyle qquad }x4y4=7,0000⋅0,4285=2,9995{displaystyle x_{4}y_{4}=7,0000centerdot 0,4285=2,9995} e 7,0001⋅0,4286=3,00024286⇒[2,9995;3,00024286]{displaystyle 7,0001centerdot 0,4286=3,00024286Rightarrow [2,9995;3,00024286]}

Multiplicação por real negativo |

Dados x{displaystyle x} e y{displaystyle y} dois números reais, sendo ao menos algum deles negativo

{displaystyle qquad }x=m,a1a2...{displaystyle x=m,a_{1}a_{2}...}

{displaystyle qquad }y=M,b1b2...{displaystyle y=M,b_{1}b_{2}...}

O produto x⋅y{displaystyle xcenterdot y} é definido como sendo o único número real comum a todos os elementos da sequência de intervalos encaixante e evanescente,

[xnyn,(xn+110n)(yn−110n)]{displaystyle {Bigl [}x_{n}y_{n},{Bigl (}x_{n}+{1 over 10^{n}}{Bigr )}{Bigl (}y_{n}-{1 over 10^{n}}{Bigr )}{Bigr ]}}

segundo as seguintes possibilidades lógicas:

• Se x≥0{displaystyle xgeq 0} e y<0{displaystyle y<0}, temos: x⋅y=−(x⋅|y|){displaystyle xcenterdot y=-(xcenterdot |y|)}
  


• Se x<0{displaystyle x<0} e y≥0{displaystyle ygeq 0}, temos: x⋅y=−(|x|⋅y){displaystyle xcenterdot y=-(|x|centerdot y)}
  


• Se x<0{displaystyle x<0} e y<0{displaystyle y<0}, temos: x⋅y=|x|⋅|y|{displaystyle xcenterdot y=|x|centerdot |y|}
  

Exemplo:

{displaystyle qquad }7⋅(−37)=−3{displaystyle 7centerdot {Bigl (}-{frac {3}{7}}{Bigr )}=-3}

{displaystyle qquad }x1y1=7,0⋅(−0,4)=−2,8{displaystyle x_{1}y_{1}=7,0centerdot (-0,4)=-2,8} e 7,1⋅(−0,5)=−3,55⇒[−2,8;−3,55]{displaystyle 7,1centerdot (-0,5)=-3,55Rightarrow [-2,8;-3,55]}

{displaystyle qquad }x2y2=7,00⋅(−0,42)=−2,94{displaystyle x_{2}y_{2}=7,00centerdot (-0,42)=-2,94} e 7,01⋅(−0,43)=−3,0143⇒[−2,94;−3,0143]{displaystyle 7,01centerdot (-0,43)=-3,0143Rightarrow [-2,94;-3,0143]}

{displaystyle qquad }x3y3=7,000⋅(−0,428)=−2,996{displaystyle x_{3}y_{3}=7,000centerdot (-0,428)=-2,996} e 7,001⋅(−0,429)=−3,003429⇒[−2,996;−3,003429]{displaystyle 7,001centerdot (-0,429)=-3,003429Rightarrow [-2,996;-3,003429]}

{displaystyle qquad }x4y4=7,0000⋅(−0,4285)=−2,9995{displaystyle x_{4}y_{4}=7,0000centerdot (-0,4285)=-2,9995} e 7,0001⋅(−0,4286)=−3,00024286⇒[−2,9995;−3,00024286]{displaystyle 7,0001centerdot (-0,4286)=-3,00024286Rightarrow [-2,9995;-3,00024286]}

Propriedades |

O conjunto dos números reais com as operações binárias de soma e produto e com a relação natural de ordem formam um corpo ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, R{displaystyle mathbb {R} ,} tem a seguinte propriedade:

• Se R{displaystyle mathbb {R} ,} for dividido em dois conjuntos (uma partição) A e B, de modo que todo elemento de A é menor que todo elemento de B, então existe um elemento x que separa os dois conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e menor ou igual a todo elemento de B
  

∀A,B,(R=A∪B∧(∀a∈A,b∈B,(a<b))⟹(∃x,(∀a∈A,b∈B⟹a≤x≤b)){displaystyle forall A,B,(mathbb {R} =Acup Bland (forall ain A,bin B,(a<b))implies (exists x,(forall ain A,bin Bimplies aleq xleq b)),}

Nas palavras de Dedekind:^[4]

Se todos os pontos da reta são divididos em duas classes, tal que todo ponto da primeira classe está à esquerda de todo ponto da segunda classe, então existe um, e apenas um, ponto que causa esta divisão de todos os pontos em duas classes, este corte da reta em duas porções. (...) Assumir esta propriedade da linha não é nada além do que o axioma pelo qual consideramos a reta contínua.

Formalmente:^[5]

∀A,B ((∀x ((x∈A∧x∉B)∨(x∈B∧x∉A)) ∧ ∀x∈A ∀y∈B (x≤y))→{displaystyle forall A,B ((forall x ((xin Aland xnot in B)lor (xin Bland xnot in A)) land forall xin A forall yin B (xleq y))rightarrow ,}

(∃z∈A ∀w∈A(w≤z)∨∃z∈B ∀w∈B(z≤w))){displaystyle (exists zin A forall win A(wleq z)lor exists zin B forall win B(zleq w))),}

Extensões |

• O corpo dos números complexos é a única extensão algébrica do corpo R{displaystyle mathbb {R} ,}.


• Não existe nenhuma extensão própria de R{displaystyle mathbb {R} ,} que seja um corpo Arquimediano.


• Uma extensão transcendente de R{displaystyle mathbb {R} ,} pode ser construída tomando-se o corpo de frações gerado pelo anel de polinômios reais. Neste corpo pode ser definida uma relação de ordem, de forma que a inclusão de R{displaystyle mathbb {R} ,} neste corpo seja um isomorfismo de corpos ordenados entre R{displaystyle mathbb {R} ,} e sua imagem. Obviamente, neste corpo existem elementos maiores que qualquer racional, cujos inversos são números positivos menores que qualquer racional positivo (infinitésimos).


• O corpo ordenado dos números hiperreais estende R{displaystyle mathbb {R} ,}, incluindo números infinitesimais.


• Pode-se acrescentar os dois elementos −∞ e ∞  a R{displaystyle -infty {mbox{ e }}infty {mbox{ a }}mathbb {R} ,}, obtendo-se os números reais estendidos. Este conjunto, porém, não é um corpo, porque a soma e a multiplicação não são operações binárias (por exemplo, não existe uma definição satisfatória de [(−∞)+∞{displaystyle [(-infty )+infty ,}].

Referências

Bibliografia |

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
	Livros e manuais no Wikilivros

• 
  Georg Cantor, 1874, "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, volume 77, páginas 258–262.


• 
  Solomon Feferman,1989, The Numbers Systems: Foundations of Algebra and Analysis, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-2915-7.


• Robert Katz, 1964, Axiomatic Analysis, D. C. Heath and Company.


• 
  Edmund Landau, 2001, ISBN 0-8218-2693-X, Foundations of Analysis, American Mathematical Society.


• Howie, John M., Real Analysis, Springer, 2005, ISBN 1-85233-314-6
  


• 
  Schumacher, Carol (1996). ChapterZero / Fundamental Notions of Abstract Mathematics (em inglês). [S.l.]: Addison-Wesley. ISBN 0-201-82653-4 
  

• Portal da matemática