Regra dos sinais de Descartes
A regra dos sinais de Descartes, primeiramente descrita por René Descartes no seu trabalho La géométrie, é um teorema que determina o número de raízes positivas e negativas de um polinômio.
Segundo a regra, se os termos de um polinômio com coeficientes reais são colocados em ordem decrescente de grau, então o número de raízes positivas do polinômio é ou igual ao número de permutações de sinal ou menor por uma diferença par. Mais precisamente falando, o número de permutações é igual ao número de raízes positivas acrescido do número de raízes imaginárias (que sempre acontecem ao pares em polinômios de coeficientes reais).
Exemplo |
- x3+x2−x−1{displaystyle x^{3}+x^{2}-x-1,}
Possui uma mudança de sinal entre o segundo e o terceiro termos. Portanto possui apenas uma raiz positiva.
Para contar o número de raízes negativa, fazemos a substituição x⟶−x{displaystyle xlongrightarrow -x,}
- −x3+x2+x−1{displaystyle -x^{3}+x^{2}+x-1,}
Este polinômio tem duas permutações de sinal, logo o polinômio original possui 2 ou 0 raízes negativas.
Para confirmar o resultado, observe a fatoração do polinômio:
- (x+1)2(x−1),{displaystyle (x+1)^{2}(x-1),,}
Então as raízes são -1 (duas vezes) e 1
Ver também |
- Teorema de Sturm
Ligações externas |
Descartes’ Rule of Signs (em inglês) — Prova do teorema
