Velocidade angular
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Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração. |
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A velocidade angular de uma partícula ou de um corpo rígido descreve a taxa com que a sua orientação muda. Ela é análoga à velocidade translatorial, e é definida nos termos da derivação da orientação com respeito ao tempo, assim como a velocidade translatorial é a derivação da posição em função do tempo. Costuma-se introduzir o conceito de velocidade se definindo primeiramente a velocidade média como sendo o deslocamento dividido pelo tempo. Neste ponto a analogia com a velocidade angular não é de grande utilidade pois, por exemplo, caso um corpo esteja rodando a uma velocidade angular constante de uma revolução por minuto, ao fim de um período de um minuto a 'velocidade angular média' do corpo seria de zero, pois a orientação é exatemente a mesma que a do início do período de tempo ao final de uma rotação.
Mais precisamente, se A(t){displaystyle A(t)} é a transformação ortogonal linear especial que descreve a orientação, a velocidade angular é definida como A(t)−1ddtA(t){displaystyle A(t)^{-1}{d over dt}A(t)}. Disso segue que a velocidade angular é uma transformação skew-adjoint linear. É útil restringir a atenção a duas ou três dimensões e representar a álgebra de Lie tridimensional das transformações lineares skew-adjoint para V3{displaystyle {}_{3}}(R) por R³. O comutador, que é o produto da álgebra de Lie, é representado pelo produto vetorial em R³. O resto deste artigo possui sua discussão utilizando este estilo.
Índice
1 Vector velocidade angular
2 O caso do movimento não-circular
2.1 Derivação
3 Ver também
4 Ligações externas
Vector velocidade angular |
A velocidade angular é um vetor com uma quantidade física que representa o processo de rotação (mudança de orientação) que ocorre em um instante de tempo. Para um corpo rígido se suplementa a velocidade translatorial do centro de massa para se descrever seu movimento completo. Ela é comumente representada pelo símbolo ômega (Ω ou ω). A magnitude da velocidade angular é a frequência angular, representada por ω. A linha de direção da velocidade angular é dada pelo eixo de rotação, e a regra da mão direita indica a direção positiva, da seguinte forma:
- Se você enrolar os dedos de sua mão direita seguindo a direção da rotação, então a direção da velocidade angular é indicada pelo seu polegar direito.
Nas unidades do SI, a velocidade angular é medida em radianos por segundo (rad/s), apesar de uma direção ter que ser especificada. As dimensões da velocidade angular são T -1, pois os radianos são adimensionais.
Para qualquer partícula de um corpo em movimento ou rotação temos:
- v=vt+ω×(r−rc){displaystyle mathbf {v} =mathbf {v} _{t}+{boldsymbol {omega }}times (mathbf {r} -mathbf {r} _{c})}
onde
v{displaystyle mathbf {v} } é a velocidade total da partícula
vt{displaystyle mathbf {v} _{t}} é a velocidade translacional
r{displaystyle mathbf {r} } é a posição da partícula
rc{displaystyle mathbf {r} _{c}} é a posição do centro do corpo.
Para descrever o movimento, o "centro" pode ser qualquer partícula ou ponto imaginário do corpo que esteja rigidamente conectado ao mesmo (o vetor de translação depende desta escolha), porém tipicamente o centro de massa é utilizado, pois esta escolha simplifica algumas fórmulas.
Quanto o produto vetorial é escrito sobre a forma de uma matriz, nós temos um matriz anti-simétrica com zeros na diagonal principal e componentes positivos e negativos da velocidade angular como os outros elementos.
Com uma aceleração angular constante, a velocidade angular obedece às equações de movimento rotacional, equivalentes às equações de movimento sobre uma aceleração linear constante.
A frequência angular é também utilizada no lugar da frequência comum em situações que não envolvem rotação, especialmente na eletrônica, pois elas geram senóides e varias equações que são obtidas através de cálculos em senóides simples. (ωt ao invés de 2πft).
O caso do movimento não-circular |
Se o movimento da partícula é descrito por uma função com um valor-vetor de posição r(t), com respeito a uma origem fixa, então o vetor velocidade angular é dado por:
- ω=r×v|r|2(1){displaystyle {boldsymbol {omega }}={mathbf {r} times mathbf {v} over |mathbf {r} |^{2}}qquad qquad (1)}
onde :v(t)=r′(t){displaystyle mathbf {v} (t)=mathbf {r'} (t)}
é o vetor velocidade linear.
A equação (1) é aplicável a movimentos não-circulares, tais como órbitas elípticas.
Derivação |
O vetor v pode ser representado com um par de componentes: v⊥{displaystyle mathbf {v} _{perp }} que é perpendicular a r, e v‖{displaystyle mathbf {v} _{|}} que é paralelo a r. O movimento do componente paralelo é completamente linear e não produz nenhuma rotação da partícula (com relação à origem), então para o propósito de encontrar a velocidade angular este pode ser ignorado. I movimento da componente perpendicular é completamente circular, pois este é perpendicular ao vetor radial, como qualquer tangente em um ponto de um círculo.
A componente perpendicular possui a magnitude
- |v⊥|=|r×v||r|(2){displaystyle |mathbf {v} _{perp }|={|mathbf {r} times mathbf {v} | over |mathbf {r} |}qquad qquad (2)}
aonde o vetor r×v{displaystyle mathbf {r} times mathbf {v} } representa a área do paralelogramo cujos dois dos lados são os vetores r e v. Dividindo esta área pela magnitude de r temos a altura deste paralelogramo entre r e o lado do paralelogramo paralelo a r. Esta altura é igual componente v, que é perpendicular a r.
No caso de um movimento puramente circular, a velocidade angular é igual à velocidade linear dividida pelo raio. No caso de um movimento generalizado, a velocidade linear é substituída pela componente perpendicular a r, temos.
- ω=|v⊥||r|(3){displaystyle omega ={|mathbf {v} _{perp }| over |mathbf {r} |}qquad qquad (3)}
portanto, comocando as equações (2) e (3) juntas chegamos a
- ω=|r×v||r|2=|ω|.(4){displaystyle omega ={|mathbf {r} times mathbf {v} | over |mathbf {r} |^{2}}=|{boldsymbol {omega }}|.qquad qquad (4)}
A equação (4) nos dá a magnitude do vetor velocidade angular. A direção deste vetor é dada por sua versão normalizada:
- ω^=r×v|r×v|.(5){displaystyle {hat {boldsymbol {omega }}}={mathbf {r} times mathbf {v} over |mathbf {r} times mathbf {v} |}.qquad qquad (5)}
Então o vetor velocidade angular completo é dado quando juntamos sua magnitude e sua direção:
- ω=ωω^{displaystyle {boldsymbol {omega }}=omega {hat {boldsymbol {omega }}}}
que, devido às equações (4) e (5), é igual a
- ω=r×v|r|2,{displaystyle {boldsymbol {omega }}={mathbf {r} times mathbf {v} over |mathbf {r} |^{2}},}
que foi demonstrada anteriormente.
Ver também |
- (Introdutório)
- Deslocamento
- Momento angular
- Aceleração angular
- Frequência angular
- Velocidade areal
- Movimento circular
- (Avançado)
- Isometria
- Grupo ortogonal
- Grupo de rotação
Ligações externas |
Rotations and Angular Momentum on the Classical Mechanics page of the website of John Baez, especially Questions 1 and 2.
- Peter M. Neumann; Gabrielle A. Stoy; Edward C. Thompson. Groups and Geometry, Oxford 1994, ISBN 01798534515. See pp. 108-110, 163-165 .