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Em matemática, números hipercomplexos são extensões dos números complexos construídos por meios da álgebra abstrata, tal como os quaterniões, coquaterniões, tessarinos, coquaternions, octoniões, split-octoniões, biquaternions e sedeniões.
A forma geral de um número hipercomplexo é dada por:
a0+a1⋅i1+a2⋅i2+...+an⋅in(1){displaystyle a_{0}+a_{1}cdot i_{1}+a_{2}cdot i_{2}+...+a_{n}cdot i_{n}(1)}
onde n é um inteiro determinado e a0,a1,a2,...,an{displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n}}
são números reais arbitrários e i0,i1,i2,...,in{displaystyle i_{0},i_{1},i_{2},...,i_{n}}
são tais que
a0+a1⋅i1+a2⋅i2+...+an⋅in=b0+b1⋅i1+b2⋅i2+...+bn⋅in{displaystyle a_{0}+a_{1}cdot i_{1}+a_{2}cdot i_{2}+...+a_{n}cdot i_{n}=b_{0}+b_{1}cdot i_{1}+b_{2}cdot i_{2}+...+b_{n}cdot i_{n}}
se e somente se:
a0=b0,a1=b1,a2=b2,...,an=bn{displaystyle a_{0}=b_{0},a_{1}=b_{1},a_{2}=b_{2},...,a_{n}=b_{n},!}
A equação na forma (1) é chamada de número complexo de n-ésima ordem. Cada multiplicação de duas bases ia{displaystyle i_{a}}
e ib{displaystyle i_{b}}
é necessariamente um elemento do conjunto do número hipercomplexo que está sendo definido. Em outras palavras, dados dois números inteiros (de 1 a n) a e b, e números reais p0{displaystyle p_{0}}
até pn{displaystyle p_{n}}
, podemos definir uma multiplicação tal que:
ia⋅ib=p0+p1⋅i1+p2⋅i2+...+pn⋅in{displaystyle i_{a}cdot i_{b}=p_{0}+p_{1}cdot i_{1}+p_{2}cdot i_{2}+...+p_{n}cdot i_{n}}
Logo, para números hipercomplexos de n-ésima ordem, n⋅n⋅(n+1){displaystyle ncdot ncdot (n+1)}
, números de tais constantes devem ser definidas para se determinar a forma algébrica. (Exemplos: números reais (ordem 0) não requerem nenhum, números complexos (1ªordem) requerem 2, números quaternários (3ªordem) requerem no total 36 números).
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