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O triângulo de Yang Hui foi publicado na China, em 1303.

O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente na Itália, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais (nk){displaystyle {begin{matrix}{n choose k}end{matrix}}}, onde n{displaystyle n} representa o número da linha e k{displaystyle k} representa o número da coluna, iniciando a contagem a partir do zero.^[1] Na China aparece nas obras de Chu Shi-kié no século XII, na Pérsia o poeta e matemático Omar Khayyám do século XII o utiliza para descobrir raízes n-ésimas, na Alemanha o triângulo aparece no livro de Petrus Apianus no século XVI. No entanto, foi Blaise Pascal que estudou e utilizou as propriedades do triângulo na teoria das probabilidades. O triângulo também pode ser representado como:

Ele define os números no triângulo por recursão: Chame o número na (m+1)-ésima linha e na (n+1)-ésima coluna por t_mn. Então t_mn = t_m-1,n + t_m,n-1, para m = 0, 1, 2... e n = 0, 1, 2... As condições de contorno são t_{m, −1} = 0, t_{−1, n} para m = 1, 2, 3... e n = 1, 2, 3... O gerador t₀₀ = 1. Pascal conclui com a prova,

tmn=(m+n)(m+n−1)...(m+1)n(n−1)...1. {displaystyle t_{mn}={frac {(m+n)(m+n-1)...(m+1)}{n(n-1)...1}}. }

Propriedades |

Relação de Stifel |

O triângulo de Pascal.

Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente acima e do antecessor do número de cima.(n−1k−1)+(n−1k)=(nk){displaystyle {n-1 choose k-1}+{n-1 choose k}={n choose k}}

012345011112121313314146¯_4¯_15151010¯_51{displaystyle {begin{matrix}&mathbf {0} &mathbf {1} &mathbf {2} &mathbf {3} &mathbf {4} &mathbf {5} \mathbf {0} &1&&&&&\mathbf {1} &1&1&&&&\mathbf {2} &1&2&1&&&\mathbf {3} &1&3&3&1&&\mathbf {4} &1&4&{underline {overline {6}}}&{underline {overline {4}}}&1&\mathbf {5} &1&5&10&{underline {overline {10}}}&5&1\end{matrix}}}

Portanto:

(42)+(43)=(53)6+4=10{displaystyle {begin{matrix}{4 choose 2}&+&{4 choose 3}&=&{5 choose 3}\&&&&\6&+&4&=&10end{matrix}}}

Soma de uma linha |

A soma de uma linha no triângulo de Pascal é igual a 2n{displaystyle 2^{n}}.

01234562n0120=111121=2212122=43133123=841464124=1651510105125=326161520156126=64{displaystyle {begin{matrix}&mathbf {0} &mathbf {1} &mathbf {2} &mathbf {3} &mathbf {4} &mathbf {5} &mathbf {6} &mathbf {2^{n}} \mathbf {0} &1&&&&&&&{2^{0}=1}\mathbf {1} &1&1&&&&&&{2^{1}=2}\mathbf {2} &1&2&1&&&&&{2^{2}=4}\mathbf {3} &1&3&3&1&&&&{2^{3}=8}\mathbf {4} &1&4&6&4&1&&&{2^{4}=16}\mathbf {5} &1&5&10&10&5&1&&{2^{5}=32}\mathbf {6} &1&6&15&20&15&6&1&{2^{6}=64}end{matrix}}}

Soma de uma coluna |

A soma da coluna, no triângulo de Pascal, pode ser calculada pela relação (nn)+(n+1n)+...+(n+kn)=(n+k+1n+1){displaystyle {n choose n}+{n+1 choose n}+...+{n+k choose n}={n+k+1 choose n+1}}.

012345601111¯_212¯_1313¯_31414¯_64151510¯_105161615201561{displaystyle {begin{matrix}&mathbf {0} &mathbf {1} &mathbf {2} &mathbf {3} &mathbf {4} &mathbf {5} &mathbf {6} \mathbf {0} &1&&&&&&\mathbf {1} &1&{underline {overline {1}}}&&&&&\mathbf {2} &1&{underline {overline {2}}}&1&&&&\mathbf {3} &1&{underline {overline {3}}}&3&1&&&\mathbf {4} &1&{underline {overline {4}}}&6&4&1&&\mathbf {5} &1&5&{underline {overline {10}}}&10&5&1&\mathbf {6} &1&6&15&20&15&6&1end{matrix}}}

Portanto:(11)+(21)+(31)+(41)=(52)1+2+3+4=10{displaystyle {begin{matrix}{1 choose 1}&+&{2 choose 1}&+&{3 choose 1}&+&{4 choose 1}&=&{5 choose 2}\&&&&&&&&\1&+&2&+&3&+&4&=&10end{matrix}}}

Simetria |

O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se for escrito da seguinte forma:

111711112113311464151010561520156213535211171{displaystyle {begin{matrix}{begin{matrix}&&\&&\&&\&&\&&\&&1\&1&\1&&7end{matrix}}&{begin{matrix}&&&&1&&&&\&&&1&&1&&&\&&1&&2&&1&&\&1&&3&&3&&1&\1&&4&&6&&4&&1\&5&&10&&10&&5&\6&&15&&20&&15&&6\&21&&35&&35&&21&end{matrix}}&{begin{matrix}&&\&&\&&\&&\&&\1&&\&1&\7&&1end{matrix}}end{matrix}}}^[2]

Isso deve-se ao fato de que (nk)=n!k!(n−k)!=n!(n−k)!k!=(nn−k){displaystyle {n choose k}={frac {n!}{k!(n-k)!}}={frac {n!}{(n-k)!k!}}={n choose n-k}}

Soma de uma diagonal |

Conhecendo as fórmulas (nn)+(n+1n)+...+(n+kn)=(n+k+1n+1){displaystyle {n choose n}+{n+1 choose n}+...+{n+k choose n}={n+k+1 choose n+1}} (Soma de uma coluna) e (nk)=n!k!(n−k)!=n!(n−k)!k!=(nn−k){displaystyle {n choose k}={frac {n!}{k!(n-k)!}}={frac {n!}{(n-k)!k!}}={n choose n-k}} (Simetria) do triângulo de Pascal, pode-se encontrar a seguinte fórmula para soma de diagonais: (n0)+(n+11)+...+(n+kk)=(n+k+1k){displaystyle {n choose 0}+{n+1 choose 1}+...+{n+k choose k}={n+k+1 choose k}}.

01234560111¯_1212¯_13133¯_141464¯_151510105¯_1616152015¯_61{displaystyle {begin{matrix}&mathbf {0} &mathbf {1} &mathbf {2} &mathbf {3} &mathbf {4} &mathbf {5} &mathbf {6} \mathbf {0} &1&&&&&&\mathbf {1} &{underline {overline {1}}}&1&&&&&\mathbf {2} &1&{underline {overline {2}}}&1&&&&\mathbf {3} &1&3&{underline {overline {3}}}&1&&&\mathbf {4} &1&4&6&{underline {overline {4}}}&1&&\mathbf {5} &1&5&10&10&{underline {overline {5}}}&1&\mathbf {6} &1&6&15&20&{underline {overline {15}}}&6&1end{matrix}}}

Novas propriedades – Desigualdades |

Em 2014 foram descobertas novas propriedades, envolvendo Desigualdades, quais sejam:^[3]

1- Em toda a infinita coluna central do Triângulo, na figura abaixo, o produto de dois de seus elementos é maior do que o produto de dois elementos pertencentes à mesma coluna central, localizados simetricamente entre eles. Por exemplo, na figura abaixo: 1 x 20 > 2 x 6, ou então, 2 x 20 > 6 x 6, ou ainda, 1 x 6 > 2 x 2. Isto vale para toda a coluna central.111711112113311464151010561520156213535211171{displaystyle {begin{matrix}{begin{matrix}&&\&&\&&\&&\&&\&&1\&1&\1&&7end{matrix}}&{begin{matrix}&&&&1&&&&\&&&1&&1&&&\&&1&&2&&1&&\&1&&3&&3&&1&\1&&4&&6&&4&&1\&5&&10&&10&&5&\6&&15&&20&&15&&6\&21&&35&&35&&21&end{matrix}}&{begin{matrix}&&\&&\&&\&&\&&\1&&\&1&\7&&1end{matrix}}end{matrix}}}

2- Dados dois elementos A e B da coluna central, o produto deles é maior do que o produto de dois elementos C e D pertencentes às diagonais que passam por A e por B, que estejam simetricamente localizados em relação a A e a B. Por exemplo, olhando novamente a figura acima: se A = 2 e B = 20, então:

2 x 20 > 3 x 10 > 4 x 4 > 1 x 5.

Se A = 1 e B = 20, então:

1 x 20 > 1 x 10 > 1 x 4 > 1 x 1.

Algoritmos |

Java |

public void Pascal(int n) {

    int nfilas = n;

    int a = new int[1];

    for (int i = 1; i <= nfilas; i++) {

        int x = new int[i];

        for (int j = 0; j < i; j++) {

            if (j == 0 || j == (i - 1)) {

                x[j] = 1;

            } else {

                x[j] = a[j] + a[j - 1];

            }

            System.out.print(x[j] + " ");

        }

        a = x;

        System.out.println();

    }

}

Notas |

Referências |

• 
  Kadane, J.B. (2011). Principles of Uncertainty (em inglês). Boca Raton: CRC Press. ISBN 9781439861615 
  

Ver também |

• Blaise Pascal


• Binômio de Newton


• Pirâmide de Pascal