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Uma extensão algébrica F{displaystyle F} de um corpo E{displaystyle E} é um corpo que é contradomínio de um homomorfismo injetivo ϕ:E→F{displaystyle phi :Erightarrow F}, em todo elemento de F é algébrico em E, ou seja, todo elemento α∈F{displaystyle alpha in F} é raiz de um polinômio cujos coeficientes são elementos de E. Esta definição é amplamente utilizada nos estudos de polinômios, notavelmente para a teoria de Galois. Note que a imagem de um polinômio por homomorfismo será um polinômio de mesmo grau; seus coeficientes serão imagem dos coeficientes do polinômio inicial:

ϕ(a0+a1x+...+anxn)=ϕ(a0)+ϕ(a1)ϕ(x)+...+ϕ(an)ϕ(xn)=ϕ(a0)+...+ϕ(an)ϕ(x)n{displaystyle phi (a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n})=phi (a_{0})+phi (a_{1})phi (x)+...+phi (a_{n})phi (x^{n})=phi (a_{0})+...+phi (a_{n})phi (x)^{n}}

Em particular, se α{displaystyle alpha } é raiz deste polinômio - sabendo-se que um homomorfismo leva o elemento neutro da soma de um corpo no elemento neutro da soma do outro - logo ϕ(α){displaystyle phi (alpha )} será raiz do polinômio ϕ(a0)+ϕ(a1)X+...+ϕ(an)Xn{displaystyle phi (a_{0})+phi (a_{1})X+...+phi (a_{n})X^{n}}.

Exemplos |

• A definição de extensão algébrica é, propositalmente, genérica para permitir construções de extensões. Um caso particular é quando E⊂F{displaystyle Esubset F}, a função ϕ{displaystyle phi } é a função inclusão, E é um sub-corpo de F, e todo elemento de F é algébrico em E.


• O conjunto Q[i]={a+bi|a,b∈Q}{displaystyle mathbb {Q} [i]={a+bi|a,bin mathbb {Q} }} munido das aplicações usuais de soma e de multiplicação usuais dos números complexos é um corpo. A aplicação ϕ:Q→Q[i]{displaystyle phi :mathbb {Q} rightarrow mathbb {Q} [i]} é dada por ϕ(a)=a+0i=a{displaystyle phi (a)=a+0i=a}. Assim, o corpo Q[i]{displaystyle mathbb {Q} [i]} é uma extensão algébrica de Q{displaystyle mathbb {Q} }
  


• O conjunto dos números algébricos é uma extensão algébrica do conjuntos dos números racionais.


• O corpo Q(π){displaystyle mathbb {Q} (pi )}, formado pelos números reais da forma f(π)g(π){displaystyle {frac {f(pi )}{g(pi )}}}, sendo f e g polinômios com coeficientes inteiros, não é uma extensão algébrica de Q{displaystyle mathbb {Q} }, porque π{displaystyle pi } não é algébrico em Q{displaystyle mathbb {Q} }. Esse é um exemplo de uma extensão transcendente.


• O corpo Q(π){displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {pi }})}, formado pelos números reais da forma f(π)g(π){displaystyle {frac {f({sqrt {pi }})}{g({sqrt {pi }})}}}, sendo f e g polinômios com coeficientes inteiros, é uma extensão algébrica de Q(π){displaystyle mathbb {Q} (pi )}.

Extensão algébrica finita |

Uma extensão algébrica finita F{displaystyle F} de um corpo E{displaystyle E} é um corpo que é contra-domínio de um homomorfismo injetivo ϕ:E→F{displaystyle phi :Erightarrow F} onde o espaço vetorial F{displaystyle F} associado ao corpo ϕ(E){displaystyle phi (E)} é de dimensão finita.

Construção |

Um dos teoremas mais poderosos da Álgebra é aquele que diz, essencialmente, que todo polinômio tem uma raiz. A forma precisa deste teorema é:

Seja E um corpo, p(x) um polinômio com coeficientes em E. Então existe uma extensão algébrica F de E tal que p(x) tem (pelo menos) uma raiz em F.

A forma de construir este corpo F, no caso de p(x) ser um polinômio irreducível, é construir o anel E[x] de polinômios, definir o sub-anel < p(x) > em E[x], usar a irreducibilidade de p(x) para provar que o anel quociente F = E[x]<p(x)>{displaystyle {frac {E[x]}{<p(x)>}}} é um corpo e que a função ϕ(e)=e+<p(x)>{displaystyle phi (e)=e+<p(x)>} é um homomorfismo injetivo, e provar que, em F, x + < p(x) > é uma raiz de p(x).