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 Nota: Para tipo de dado, veja inteiro (tipo de dado).

Os números inteiros são constituídos dos números naturais e seus simétricos negativos, incluindo o zero.^[1] O conjunto de todos os números inteiros é representado pela letra Z{displaystyle mathbb {Z} }, originada da palavra alemã Zahl , "números").

Z=[...−3,−2,−1,0,1,2,3...]{displaystyle mathbb {Z} =[...-3,-2,-1,0,1,2,3...]}

Os inteiros (juntamente com a operação de adição) formam o menor grupo que contém o monoide aditivo dos números naturais. Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.

Os números inteiros podem ser simétricos, quando os números têm sinais opostos, ou pode existir também o valor absoluto de um número inteiro, que é a distância entre a origem e o número.

Subconjuntos de Z{displaystyle mathbb {Z} } |

Z∗={displaystyle mathbb {Z} ^{*}=} Conjunto dos inteiros não-nulos =Z−{0}{displaystyle =mathbb {Z} -{0}}

Z{displaystyle mathbb {Z} }₊={displaystyle =} Conjunto dos inteiros não negativos =[0,1,2,3...]{displaystyle =[0,1,2,3...]}

Z∗{displaystyle mathbb {Z} ^{*}}₊={displaystyle =} Conjunto dos inteiros não negativos, excluindo zero =[1,2,3...]{displaystyle =[1,2,3...]}

Z{displaystyle mathbb {Z} }_-={displaystyle =} Conjunto dos inteiros não positivos =[...−3,−2,−1,0]{displaystyle =[...-3,-2,-1,0]}

Z∗{displaystyle mathbb {Z} ^{*}}_-={displaystyle =} Conjunto dos inteiros não positivos, excluindo zero =[...−3,−2,−1]{displaystyle =[...-3,-2,-1]}

Propriedades Básicas das operações +{displaystyle +} (adição) e ⋅{displaystyle cdot } (multiplicação):^[2] |

Há diversos campos numéricos verificando as propriedades abaixo. Dizemos que eles têm uma mesma estrutura algébrica, a qual é chamada de anel de integridade. O campo dos inteiros, [Z,+,⋅]{displaystyle [mathbb {Z} ,+,cdot ]}, é o mais simples e conhecido dos anéis de integridade, e tem o seguinte conjunto de propriedades básicas:

Para todos a,b,c∈Z{displaystyle a,b,cin mathbb {Z} }:

Fechamento das operações |

• 
  a+b∈Z{displaystyle a+bin mathbb {Z} }{displaystyle qquad }[a operação +{displaystyle +} é fechada]


• 
  a⋅b∈Z{displaystyle acdot bin mathbb {Z} }{displaystyle qquad qquad }[a operação ⋅{displaystyle cdot } é fechada]

Associatividade das operações |

• 
  a+(b+c)=(a+b)+c{displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}{displaystyle qquad qquad }[associatividade da +{displaystyle +}]


• 
  a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c{displaystyle acdot (bcdot c)=(acdot b)cdot c}{displaystyle qquad qquad }[associativa da ⋅{displaystyle cdot }]

Existência de elemento neutro |

• 
  a+0=a{displaystyle a+0=a}{displaystyle qquad qquad }[0 é o elemento neutro da +{displaystyle +}]


• 
  a⋅1=a{displaystyle acdot 1=a}{displaystyle qquad qquad }[1 é o elemento neutro da ⋅{displaystyle cdot }]

Comutatividade |

• 
  a+b=b+a{displaystyle a+b=b+a}{displaystyle qquad qquad }[comutatividade da +{displaystyle +}]


• 
  a⋅b=b⋅a{displaystyle acdot b=bcdot a}{displaystyle qquad qquad }[comutatividade da ⋅{displaystyle cdot }]

Existência de inverso na adição |

• 
  ∃a′∈Z{displaystyle exists a'in mathbb {Z} } tal que a+a′=0{displaystyle a+a'=0}{displaystyle qquad qquad }[a′{displaystyle a'} é o simétrico de a{displaystyle a}]

Distributividade da multiplicação |

• 
  a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c){displaystyle acdot (b+c)=(acdot b)+(acdot c)}{displaystyle qquad qquad }[distributividade da ⋅{displaystyle cdot }]

Integridade da multiplicação |

• 
  a⋅b=0⇒{displaystyle acdot b=0Rightarrow } a=0{displaystyle a=0} ou b=0{displaystyle b=0}{displaystyle qquad qquad }[integridade da ⋅{displaystyle cdot }]

Demonstrações usando as propriedades básicas |

i){displaystyle i)} Unicidade do elemento neutro da multiplicação

Vamos supor por absurdo que existem dois elementos neutros da multiplicação 1{displaystyle 1} e 1′{displaystyle 1'}, com 1≠1′{displaystyle 1neq 1'}

Como 1{displaystyle 1} é elemento neutro da multiplicação, então: 1′⋅1=1′{displaystyle 1'cdot 1=1'}

Como 1′{displaystyle 1'} é elemento neutro da multiplicação, então: 1⋅1′=1{displaystyle 1cdot 1'=1}

Temos: 1′=1′⋅1=1⋅1′=1{displaystyle 1'=1'cdot 1=1cdot 1'=1} [Comutatividade da multiplicação]

⇒1′=1{displaystyle qquad quad Rightarrow 1'=1}

É absurdo, pois 1′{displaystyle 1'} é diferente de 1{displaystyle 1} por hipótese.

Então o elemento neutro da multiplicação é único.

ii){displaystyle ii)} Unicidade do elemento simétrico

Vamos supor que existem dois simétricos a′{displaystyle a'} e a″{displaystyle a''} de a{displaystyle a}, tal que a′≠a″{displaystyle a'neq a''}.

a′=0+a′{displaystyle a'=0+a'} [Existência do elemento neutro]

=(a+a″)+a′{displaystyle quad =(a+a'')+a'} [Existência do inverso na adição]

=a+(a″+a′){displaystyle quad =a+(a''+a')} [Associativa]

=a+(a′+a″){displaystyle quad =a+(a'+a'')} [Comutativa]

=(a+a′)+a″{displaystyle quad =(a+a')+a''} [Associativa]

=0+a″=a″{displaystyle quad =0+a''=a''} [Existência do elemento neutro]

Notação para o simétrico de a{displaystyle a} é −a{displaystyle -a}.

Como por hipótese a′≠a″{displaystyle a'neq a''} não podemos ter a′=a″{displaystyle a'=a''}.

Logo o simétrico da adição é único.

Com isso podemos definir a subtração:

a+b′=a+(−b)=a−b{displaystyle qquad a+b'=a+(-b)=a-b}

iii){displaystyle iii)} Multiplicação por 0{displaystyle 0}

0⋅a=0{displaystyle qquad 0cdot a=0} ∀a∈Z{displaystyle forall ain mathbb {Z} }

⇒0⋅a=(b−b)a{displaystyle qquad Rightarrow 0cdot a=(b-b)a}

⇒0⋅a=ab−ab{displaystyle qquad Rightarrow 0cdot a=ab-ab}

⇒0⋅a=0{displaystyle qquad Rightarrow 0cdot a=0}

iv){displaystyle iv)} Distributividade

(b+c)a=ba+ca{displaystyle (b+c)a=ba+ca}

(b+c)a=a(b+c){displaystyle (b+c)a=a(b+c)} [Comutativa]

⇒ab+ac=ba+ca{displaystyle Rightarrow ab+ac=ba+ca} [Distributiva e Comutativa]

Proposição (leis do cancelamento)^[2] |

i){displaystyle i)}Sendo a{displaystyle a} e b{displaystyle b} números inteiros:

a+c=b+c⇒a=b,{displaystyle qquad a+c=b+cRightarrow a=b,} ∀c∈Z{displaystyle forall cin mathbb {Z} }

Observe que, para x=y,{displaystyle x=y,} x,y∈Z{displaystyle quad x,yin mathbb {Z} } e z∈Z{displaystyle zin mathbb {Z} }

Logo temos, x+z=y+z{displaystyle x+z=y+z} (vem da definição de soma em N{displaystyle mathbb {N} })

Agora podemos provar:

a+c=b+c{displaystyle qquad a+c=b+c}

⇒(a+c)+(−c)=(b+c)+(−c){displaystyle qquad Rightarrow (a+c)+(-c)=(b+c)+(-c)}

⇒a+(c−c)=b+(c−c){displaystyle qquad Rightarrow a+(c-c)=b+(c-c)} [Associatividade]

⇒a+0=b+0{displaystyle qquad Rightarrow a+0=b+0}

⇒a=b{displaystyle qquad Rightarrow a=b}

ii){displaystyle ii)} Sendo a,b{displaystyle a,b} e c{displaystyle c} números inteiros

a⋅c=b⋅c⇒a=b,{displaystyle qquad acdot c=bcdot cRightarrow a=b,} ∀c≠0{displaystyle forall cneq 0}

⇒ac−bc=bc−bc{displaystyle qquad Rightarrow ac-bc=bc-bc}

⇒ca−cb=0{displaystyle qquad Rightarrow ca-cb=0} [Comutatividade]

⇒c(a−b)=0{displaystyle qquad Rightarrow c(a-b)=0} [Distributiva]

Logo c=0{displaystyle c=0} ou a−b=0{displaystyle a-b=0}, como c≠0{displaystyle cneq 0}, por hipótese temos:

a−b=0{displaystyle qquad a-b=0}

⇒a−b+b=0+b{displaystyle qquad Rightarrow a-b+b=0+b}

a+0=0+b{displaystyle qquad a+0=0+b}

a=b{displaystyle qquad a=b}

Relação de ordem nos inteiros^[2] |

Temos que se a>b{displaystyle a>b} ou b<a{displaystyle b<a} isso significa que a−b>0{displaystyle a-b>0}

Com isso os números inteiros ficam divididos em:

Z+={0,1,2,3...}⇒{displaystyle mathbb {Z} ^{+}={0,1,2,3...}Rightarrow } Inteiros não negativos

x∈Z:x≥0{displaystyle qquad xin mathbb {Z} :xgeq 0}

Z−={...,−3,−2,−1,0}⇒{displaystyle mathbb {Z} ^{-}={...,-3,-2,-1,0}Rightarrow } Inteiros não positivos

x∈Z:x≤0{displaystyle qquad xin mathbb {Z} :xleq 0}

Z∗+={1,2,3,...}⇒{displaystyle mathbb {Z} _{*}^{+}={1,2,3,...}Rightarrow } Inteiros positivos

x∈Z:x>0{displaystyle qquad xin mathbb {Z} :x>0}

Z∗−={...,−3,−2,−1}⇒{displaystyle mathbb {Z} _{*}^{-}={...,-3,-2,-1}Rightarrow } Inteiros negativos

x∈Z:x<0{displaystyle qquad xin mathbb {Z} :x<0}

Observação: temos a>b⇒a−b>0,{displaystyle a>bRightarrow a-b>0,} no caso particular a−0=a{displaystyle a-0=a}, temos a>0{displaystyle a>0}, somente se a∈{1,2,3,...}{displaystyle ain {1,2,3,...}}

Notação:{a≥b(a>boua=b)a≤b(a<boua=b){displaystyle {begin{cases}ageq b(a>bquad ouquad a=b)\aleq b(a<bquad ouquad a=b)\end{cases}}}

As relações <{displaystyle <} e ≤{displaystyle leq } são compatíveis com a adição e a multiplicação, conforme os resultados:

Proposição:

Sendo a,b,c∈Z{displaystyle a,b,cin mathbb {Z} }

i){displaystyle i)} A relação de ordem é preservada na adição:

∗a<b⇔a+c<b+c,∀c∈Z{displaystyle *quad a<bLeftrightarrow a+c<b+c,quad forall cin mathbb {Z} }

a<b⇒b−a>0{displaystyle a<bRightarrow b-a>0}

⇒b−a+c−c>0{displaystyle qquad Rightarrow b-a+c-c>0}

⇒b+c−a−c>0{displaystyle qquad Rightarrow b+c-a-c>0}

⇒(b+c)−(a+c)>0{displaystyle qquad Rightarrow (b+c)-(a+c)>0}

⇒a+c<b+c{displaystyle qquad Rightarrow a+c<b+c}

a+c<b+c⇒a<b{displaystyle a+c<b+cRightarrow a<b}

⇒(b+c)−(a+c)>0{displaystyle qquad qquad quad Rightarrow (b+c)-(a+c)>0}

⇒b+c−a−c>0{displaystyle qquad qquad quad Rightarrow b+c-a-c>0}

⇒(b−a)+(c−c)>0{displaystyle qquad qquad quad Rightarrow (b-a)+(c-c)>0}

⇒b−a>0{displaystyle qquad qquad quad Rightarrow b-a>0}

⇒a<b{displaystyle qquad qquad quad Rightarrow a<b}

∗a≤b⇔a+c≤b+c,∀c∈Z{displaystyle *quad aleq bLeftrightarrow a+cleq b+c,quad forall cin mathbb {Z} }

Esta demonstração é de forma análoga à anterior.

ii){displaystyle ii)} A relação de ordem é preservada na multiplicação por inteiros positivos:

∗a<b⇔a⋅c<b⋅c,∀c∈Z{displaystyle *quad a<bLeftrightarrow acdot c<bcdot c,quad forall cin mathbb {Z} }

Observe que quando n>0{displaystyle n>0}

cn>0{displaystyle cn>0} para c>0{displaystyle c>0}, ou seja, 3n>2n>n>0{displaystyle 3n>2n>n>0}

a<b⇒b−a>0{displaystyle a<bRightarrow b-a>0}

⇒c(b−a)>0c>0{displaystyle qquad Rightarrow c(b-a)>0quad qquad c>0}

⇒cb−ca>0{displaystyle qquad Rightarrow cb-ca>0}

⇒ca<cb{displaystyle qquad Rightarrow ca<cb}

ca<cb⇒a<b{displaystyle ca<cbRightarrow a<b}

⇒ca−cb>0{displaystyle qquad quad Rightarrow ca-cb>0}

⇒c(b−a)>0c>0{displaystyle qquad quad Rightarrow c(b-a)>0quad qquad c>0}

⇒b−a>0{displaystyle qquad quad Rightarrow b-a>0}

⇒a<b{displaystyle qquad quad Rightarrow a<b}

cn<0{displaystyle cn<0} para c<0{displaystyle c<0}, ou seja, −3n<−2n<−n<0{displaystyle -3n<-2n<-n<0}

a<b⇒b−a>0{displaystyle a<bRightarrow b-a>0}

⇒c(b−a)<0c<0{displaystyle qquad Rightarrow c(b-a)<0quad qquad c<0}

⇒cb−ca<0{displaystyle qquad Rightarrow cb-ca<0}

⇒cb<ca{displaystyle qquad Rightarrow cb<ca}

a<b⇒ca>cb{displaystyle a<bRightarrow ca>cb}

⇒cb−ca<0{displaystyle qquad Rightarrow cb-ca<0}

⇒c(b−a)<0c<0{displaystyle qquad Rightarrow c(b-a)<0quad qquad c<0}

⇒b−a>0{displaystyle qquad Rightarrow b-a>0}

⇒a<b{displaystyle qquad Rightarrow a<b}

Valor absoluto de um número inteiro^[2] |

O valor absoluto de um número inteiro b{displaystyle b} é a distância modular, e é definido como a distância do número até a origem(0):

|b|={b se b≥0−b se b<0{displaystyle |b|={begin{cases}b se bgeq 0\-b se b<0\end{cases}}}

Tomar o valor absoluto de um número inteiro consiste basicamente em deixá-lo inalterado se o número for positivo ou nulo, e apagar seu sinal, caso ele seja negativo.

Exemplo:

|−2|=2=|2|{displaystyle |-2|=2=|2|},

|0|=0{displaystyle |0|=0}

Conceitos básicos de divisibilidade^[2] |

O divisor de um número inteiro a{displaystyle a}, é todo inteiro b{displaystyle b} capaz de transformar o inteiro a{displaystyle a} num produto de inteiros: a=b.c{displaystyle a=b.c} (para algum número inteiro c{displaystyle c}).

Sempre que b{displaystyle b} for divisor de a{displaystyle a}, também costuma-se empregar as seguintes terminologias alternativas, sinônimas:

{displaystyle qquad }"o inteiro b{displaystyle b} divide a{displaystyle a}", o que pode ser abreviado com a notação: b|a{displaystyle b|a} ;

{displaystyle qquad }"o inteiro a{displaystyle a} é múltiplo de b{displaystyle b}"

Exemplo:

Os divisores de a=4{displaystyle a=4} são b=−2,−1,1,2{displaystyle b=-2,-1,1,2}

Todos eles são não-nulos, e temos respectivamente:

4=(−2)⋅(−2),4=(−1)⋅(−4),4=1⋅4,4=2⋅2{displaystyle 4=(-2)cdot (-2),quad 4=(-1)cdot (-4),quad 4=1cdot 4,quad 4=2cdot 2}

Atenção:

• zero só é divisor de si mesmo;


• todos os inteiros são divisores de zero.

Demonstrações |

i){displaystyle i)} Se b{displaystyle b} é divisor de a{displaystyle a}, então −b{displaystyle -b} também é.

Hipótese: b∣a⇒a=b⋅cc∈Z{displaystyle bmid aRightarrow a=bcdot cqquad cin mathbb {Z} }

Tese: −b∣a⇒a=−b⋅dd∈Z{displaystyle -bmid aRightarrow a=-bcdot dqquad din mathbb {Z} }

Temos que a=b⋅c{displaystyle a=bcdot c}

Então (−1)a=b⋅c(−1){displaystyle (-1)a=bcdot c(-1)}

⇒(−1)−a=(−1)b⋅(−c){displaystyle Rightarrow (-1)-a=(-1)bcdot (-c)}

⇒a=(−b)⋅(−c){displaystyle Rightarrow a=(-b)cdot (-c)}, sendo d=−c{displaystyle d=-c}

⇒a=−b.d{displaystyle Rightarrow a=-b.d}, pela definição de divisor ⇒−b∣a{displaystyle Rightarrow -bmid a}

ii){displaystyle ii)} Se a{displaystyle a} é divisor de b{displaystyle b} e b{displaystyle b} é divisor de a{displaystyle a}, então a=b{displaystyle a=b} ou a=−b{displaystyle a=-b}

Hipótese: a∣b{displaystyle amid b} e b∣a{displaystyle bmid a}

Tese: a=b{displaystyle a=b}

Temos que a∣b⇒b=a⋅c{displaystyle amid bRightarrow b=acdot c}, c∈Z{displaystyle qquad cin mathbb {Z} }

b∣a⇒a=b⋅d{displaystyle qquad qquad bmid aRightarrow a=bcdot d}, d∈Z{displaystyle qquad din mathbb {Z} }

⇒b=(b⋅d)⋅c⇒b=b(d⋅c)⇒d⋅c=1{displaystyle Rightarrow b=(bcdot d)cdot cRightarrow b=b(dcdot c)Rightarrow dcdot c=1}

⇒d=c=1{displaystyle Rightarrow d=c=1} ou d=c=−1{displaystyle d=c=-1}

• Para d=c=1{displaystyle d=c=1}
  

a=b⋅d⇒a=b⋅1⇒a=b{displaystyle a=bcdot dRightarrow a=bcdot 1Rightarrow a=b}

b=a.c⇒b=a⋅1⇒b=a{displaystyle b=a.cRightarrow b=acdot 1Rightarrow b=a}

• Para d=c=−1{displaystyle d=c=-1}
  

a=b⋅d⇒a=b⋅(−1)⇒a=−b{displaystyle a=bcdot dRightarrow a=bcdot (-1)Rightarrow a=-b}

b=a.c⇒b=a⋅(−1)⇒b=−a{displaystyle b=a.cRightarrow b=acdot (-1)Rightarrow b=-a}

Número primo e números relativamente primos^[2] |

Como 1,−1,a,−a{displaystyle 1,-1,a,-a} sempre são divisores de cada número inteiro a≠0{displaystyle aneq 0}, dizemos que eles são os divisores triviais, ou os divisores impróprios, de a{displaystyle a}.

Nos casos em que a=1{displaystyle a=1} e a=−1{displaystyle a=-1}, temos exatamente dois divisores triviais. Contudo, em todos os demais casos de a≠0{displaystyle aneq 0}, temos exatamente quatro divisores triviais.

Número primo é todo inteiro p≠0,±1{displaystyle pneq 0,pm 1} cujos divisores são todos triviais. Isto equivale a dizer que um número primo é todo inteiro p{displaystyle p} com exatamente quatro divisores: p,−p,1,−1{displaystyle p,-p,1,-1}.

Número composto é todo inteiro k≠0{displaystyle kneq 0} que tem ao menos um divisor não trivial. Isto equivale a dizer que um número composto é todo inteiro k≠0{displaystyle kneq 0} com cinco ou mais divisores.

Chamamos de divisor comum de dois ou mais números inteiros, todo inteiro que seja divisor de cada um desses inteiros.

Exemplo:

Os divisores de 8{displaystyle 8} são ±1,±2,±4,±8{displaystyle pm 1,pm 2,pm 4,pm 8}, enquanto que os divisores de 12{displaystyle 12} são ±1,±2,±3,±4,±6,±12{displaystyle pm 1,pm 2,pm 3,pm 4,pm 6,pm 12}. Assim, os divisores comuns de 8{displaystyle 8} e 12{displaystyle 12} são ±1,±2,±4{displaystyle pm 1,pm 2,pm 4}.

Dizemos que dois números inteiros são relativamente primos, ou primos entre si se tiverem como divisores comuns apenas os divisores triviais +1{displaystyle +1} e −1{displaystyle -1}.

Proposição: todo número primo que não dividir um inteiro a{displaystyle a} dado, é relativamente primo com a{displaystyle a}.

Demonstração: Sendo p{displaystyle p} um primo dado e a{displaystyle a} um número inteiro. Temos que os divisores de p{displaystyle p} são 1{displaystyle 1}, −1{displaystyle -1}, p{displaystyle p} e −p{displaystyle -p}, como p{displaystyle p} não divide a{displaystyle a}, seus únicos divisores comuns serão 1{displaystyle 1} e −1{displaystyle -1}.

Máximo divisor comum (mdc)^[2] |

Chamamos de máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros, o maior dos divisores comuns desses inteiros. A notação mdc(a,b){displaystyle mdc(a,b)} indicará o máximo divisor comum dos inteiros a{displaystyle a}, b{displaystyle b}.

Exemplo:

Temos mdc(6,9)=3{displaystyle mdc(6,9)=3}, pois os divisores comuns de 6{displaystyle 6} e 9{displaystyle 9} são ±1{displaystyle pm 1} e ±3{displaystyle pm 3}.

Note que:

• o mdc(a,b){displaystyle mdc(a,b)} sempre existe, a menos que a=b=0{displaystyle a=b=0}.

mdc(0,b)={(b),seb≠0∄seb=0}{displaystyle mdc(0,b)={begin{Bmatrix}(b),sequad bneq 0\nexists quad sequad b=0end{Bmatrix}}}

• o conjunto de divisores comuns de qualquer conjunto de dois ou mais números inteiros nunca é vazio (pois ±1{displaystyle pm 1} sempre são divisores comuns deles) e é finito (pois os divisores de c≠0{displaystyle cneq 0}estão entre c{displaystyle c} e −c{displaystyle -c}).

• o mdc(a,b)≥1{displaystyle mdc(a,b)geq 1}, em particular, sempre é positivo.


• 
  mdc(a,b)=mdc(−a,b)=mdc(a,−b)=mdc(−a,−b){displaystyle mdc(a,b)=mdc(-a,b)=mdc(a,-b)=mdc(-a,-b)}.


• Dizer que dois números a{displaystyle a} e b{displaystyle b} são primos entre si, é o mesmo que dizer que mdc(a,b)=1{displaystyle mdc(a,b)=1}.

→{displaystyle rightarrow } Fatoração: sendo a=b1,b2...bn{displaystyle a=b_{1},b_{2}...b_{n}}, com a,b1,b2...bn{displaystyle a,b_{1},b_{2}...b_{n}} inteiros, dizemos que b1,b2...bn{displaystyle b_{1},b_{2}...b_{n}} são fatores de a{displaystyle a} e que b1,b2...bn{displaystyle b_{1},b_{2}...b_{n}}é uma fatoração desse a{displaystyle a}.

Ex: 18=2⋅9=3⋅6=1⋅18=2⋅3⋅3{displaystyle 18=2cdot 9=3cdot 6=1cdot 18=2cdot 3cdot 3}

O mdc também pode ser calculado à partir do Algoritmo de Euclides.

Teorema da divisão euclidiana |

A ideia da divisão euclidiana consiste em separar um todo em partes iguais. Essa divisão pode ocorrer de forma exata (quando a união dessas partes resulta no número original) ou de forma inexata (quando ocorre o contrário). No contexto dos números inteiros, a{displaystyle a} corresponde ao todo, e b{displaystyle b} corresponde a cada uma das partes iguais. Ou seja:

• A divisão exata de a{displaystyle a} por b{displaystyle b} equivale a dizer que existe um número inteiro q{displaystyle q} tal que: a=q⋅b{displaystyle a=qcdot b}.

{displaystyle qquad }Exemplo:

4=2⋅2{displaystyle qquad qquad 4=2cdot 2}

10=2⋅5{displaystyle qquad qquad 10=2cdot 5}

• A divisão inexata de a{displaystyle a} por b{displaystyle b} equivale a dizer que existe um número inteiro q{displaystyle q} tal que: a=q⋅b+r{displaystyle a=qcdot b+r}, onde r{displaystyle r} (resto) é menor que b{displaystyle b}
  

{displaystyle qquad }Exemplo:

26=2⋅9+8{displaystyle qquad qquad 26=2cdot 9+8}

21=4⋅5+1{displaystyle qquad qquad 21=4cdot 5+1}

Há apenas uma maneira de fazer uma divisão exata, mas há maneiras diferentes de se fazer uma divisão inexata. Podemos dividí-las em: inexatas por falta (a mais utilizada, como 17=3⋅5+2{displaystyle 17=3cdot 5+2}) e inexatas por excesso (como 17=4⋅5+(−3){displaystyle 17=4cdot 5+(-3)}).

Teorema fundamental da aritmética |

Este teorema afirma que os números primos funcionam como base para a construção de todo e qualquer número inteiro (exceto 0{displaystyle 0} e ±1{displaystyle pm 1}), fazendo apenas multiplicações. Este teorema tem uma importância tão grande que é chamado de Teorema Fundamental da Aritmética.

A fatoração em primos de um inteiro a≠0{displaystyle aneq 0}, ±1{displaystyle pm 1} pode ser escrita de diversas maneiras, como por exemplo:

• Existem primos p1,p2,p3,...,{displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},...,}possivelmente repetidos, tais que a=±p1⋅p2⋅p3...{displaystyle a=pm p_{1}cdot p_{2}cdot p_{3}...}.


• Existem primos p1≤p2≤p3≤...≤pn{displaystyle p_{1}leq p_{2}leq p_{3}leq ...leq p_{n}}tais que a=±p1⋅p2⋅p3⋅...⋅pn{displaystyle a=pm p_{1}cdot p_{2}cdot p_{3}cdot ...cdot p_{n}}.


• Existem primos distintos p1<p2<p3,...<pn{displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3},...<p_{n}}, e respectivos inteiros positivos j1,j2,j3,...,jn{displaystyle j_{1},j_{2},j_{3},...,j_{n}}, tais que a=±p1j1⋅p2j2⋅p3j3⋅...⋅pnjn{displaystyle a=pm p_{1}^{j_{1}}cdot p_{2}^{j_{2}}cdot p_{3}^{j_{3}}cdot ...cdot p_{n}^{j_{n}}}.

Assim, por exemplo,

−40=−2⋅2⋅2⋅5{displaystyle qquad qquad -40=-2cdot 2cdot 2cdot 5}

−40=−23⋅5{displaystyle qquad qquad -40=-2^{3}cdot 5}

63=3⋅3⋅7{displaystyle qquad qquad 63=3cdot 3cdot 7}

63=32⋅7{displaystyle qquad qquad 63=3^{2}cdot 7}

Propriedades relativas à ordem |

Dois inteiros admitem relações binárias como =, > e <.

A ordem de Z é dada por ... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ... e faz de Z uma ordenação total sem limite superior ou inferior. Chama-se de inteiro positivo os inteiros maiores que zero; o próprio zero não é considerado um positivo. A ordem é compatível com as operações algébricas no seguinte sentido:

1. se a < b e c < d, então a + c < b + d
   


2. se a < b e 0 < c, então ac < bc
   

Aplicações |

Inteiro é frequentemente um tipo primitivo em linguagem de programação, normalmente com 1, 2, 4, ou 8 bytes de comprimento (8, 16, 32, ou 64 bits). Observe, porém, que um computador pode apenas representar um subconjunto dos inteiros com estes tipos, já que os inteiros são infinitos e uma quantidade de bits fixa limita a representação a um máximo de 2 à potência do número de bits (28{displaystyle 2^{8}} para bytes, 232{displaystyle 2^{32}} para arquiteturas de 32 bits, etc). No entanto, o uso de técnicas de inteligência artificial permitem que computadores representem e raciocinem sobre o conjunto dos inteiros.

RSA |

O RSA é o mais conhecido dos métodos de criptografia de chave pública. Ele foi criado em 1978 por R. L. Rivest, A. Shamir e L. Adleman, que na época trabalhavam no MIT e é o mais usado em aplicações comerciais atualmente. A construção deste sistema é baseada nas propriedades da Teoria dos Números e suas principais características são: simplicidade, chave pública e extrema dificuldade em violar o código.

Referências

Ver também |

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
	Livros e manuais no Wikilivros

• Parte inteira


• Sequência de inteiros


• Inteiro (tipo de dado)

• Portal da matemática