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O cálculo de variações é um problema matemático que consiste em buscar máximos e mínimos (ou, mais geralmente, extremos relativos) de funções contínuas definidas sobre algum espaço funcional. Constituem uma generalização do cálculo elementar de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. Ao contrário deste, o cálculo das variações lida com os funcionais, enquanto o cálculo ordinário trata de funções. Funcionais podem, por exemplo, ser formados por integrais envolvendo uma função incógnita e suas derivadas. O interesse está em funções extremas - aquelas que fazem o funcional atingir um valor máximo ou mínimo - ou de funções fixas - aquelas onde a taxa de variação do funcional é precisamente zero.

Talvez o exemplo mais simples seja o de encontrar a curva com o menor comprimento possível ligando dois pontos. Se não houver restrições, a solução é (obviamente) uma linha reta ligando estes pontos. No entanto, se as possibilidades para esta curva estiverem restritas a uma determinada superfície no espaço, então a solução é menos óbvia e, possivelmente, muitas soluções podem existir. Tais soluções são conhecidas como geodésicas. Um problema relacionado a este é representado pelo princípio de Fermat: a luz segue o caminho de menor comprimento óptico ligando dois pontos, onde o comprimento óptico depende do material de que é composto o meio. Um conceito correspondente em mecânica é o princípio da mínima ação.

Formulação geral |

Um dos problemas típicos em cálculo diferencial é o de encontrar o valor de x{displaystyle x} para o qual uma dada função f(x){displaystyle f(x)} alcança um valor extremo (máximo ou mínimo). No cálculo de variações, o problema em questão é encontrar uma função f(x){displaystyle f(x)} para a qual um funcional I[f]{displaystyle I[f]} atinge um valor extremo. O funcional I[f]{displaystyle I[f]} é composto por uma integral que depende de x{displaystyle x}, da função f(x){displaystyle f(x)} e algumas de suas derivadas.

I[f]=∫ab−h(x,f(x),f′(x),...)dx{displaystyle I[f]=int _{a}^{b}-h(x,f(x),f'(x),...),dx}

Onde a função f(x){displaystyle f(x)} pertence a algum espaço de funções (espaço de Banach, espaço de Hilbert), e tanto ela como suas derivadas podem ter restrições.

Esta fórmula integral pode ser mais complicada permitindo a x{displaystyle x} ser um vetor, e portanto incluindo derivadas parciais para f{displaystyle f}.

Em casos mais simples, a resolução do problema pode ser reduzida a resolução da Equação de Euler na forma:

∂h∂f−ddx(∂h∂f′)=0{displaystyle {frac {partial h}{partial f}}-{frac {d}{dx}}left({frac {partial h}{partial f'}}right)=0}

Problemas históricos |

Problema Isoperimétrico |

Qual é a área máxima que pode cercar-se com uma curva de comprimento especificado?

Exemplo:
Sejam dois pontos A=(a,0),B=(b,0){displaystyle A=(a,0),B=(b,0)} sobre o eixo x, sendo a distância entre eles estabelecida. Ou seja, AB=l{displaystyle AB=l}. O problema de haver uma curva que maximize a área entre ela e o eixo x seria:

Haverá uma função f(x){displaystyle f(x)} de modo que,

I[f]=∫abf(x)dx={displaystyle I[f]=int _{a}^{b}f(x)dx=} max

com as restrições

G[f]=∫ab1+(f′(x))2dx=l{displaystyle G[f]=int _{a}^{b}{sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx=l} (comprimento de arco)

f(a)=f(b)=0{displaystyle f(a)=f(b)=0}

Braquistócrona |

O problema da curva braquistócrona remonta a Johann Bernoulli (1696). Se refere a encontrar uma curva no plano cartesiano que vá do ponto P=(x0,y0){displaystyle P=(x_{0},y_{0})} a origem de modo que um ponto material que desliza sem fricção sobre ela tarda o menor tempo possível em ir de P{displaystyle P} a origem. Usando princípios de mecânica clássica o problema pode formular-se como,

T[f]=∫0x01+(f′(x))22g(y0−y) dx={displaystyle T[f]=int _{0}^{x_{0}}{frac {sqrt {1+(f'(x))^{2}}}{sqrt {2g(y_{0}-y)}}} dx=} min

onde g é a gravidade e as restrições são, f(0)=0{displaystyle f(0)=0}, f(x0)=y0{displaystyle f(x_{0})=y_{0}}. Há de se notar que em x=x0{displaystyle x=x_{0}} existe uma singularidade.

Ver também |

• 
  Equação de Euler-Lagrange.


• Princípio de Hamilton


• Lagrangiana


• Hamiltoniano


• Catenóide


• Braquistócrona


• Geodésica

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