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Em matemática, uma medida é uma função que atribui um valor aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.

Medida positiva (+) |

Uma medida positiva definida numa σ-algebra X de subconjuntos de um conjunto S é uma função μ:X→[0,∞){displaystyle mu :Xto [0,infty ),!} tal que:

• μ(∅)=0{displaystyle mu (emptyset )=0}


• 
  μ(⋃i=1∞Ei)=∑i=1∞μ(Ei){displaystyle mu left(bigcup _{i=1}^{infty }E_{i}right)=sum _{i=1}^{infty }mu (E_{i})}, para qualquer coleção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Os elementos, neste caso conjuntos, de X chamam-se conjuntos X-mensuráveis (ou apenas conjuntos mensuráveis).

São conseqüências diretas da definição de medida postiva:

• 
  Não-negatividade:

μ(E)≥0,  ∀E∈X{displaystyle mu (E)geq 0,~~forall Ein X,}

Prova:

• Monotonicidade

A⊆B⟹μ(A)≤μ(B),   ∀A,B∈X{displaystyle Asubseteq BLongrightarrow mu (A)leq mu (B),~~~forall A,Bin X,}

Prova: Como A⊆B{displaystyle Asubseteq B}, vale que B=A∪(B∖A){displaystyle B=Acup (Bbackslash A)}, sendo esta união disjunta. Logo, da definição de medida, vale que μ(B)=μ(A)+μ(B∖A)≥μ(A){displaystyle mu (B)=mu (A)+mu (Bbackslash A)geq mu (A)}, pela não-negatividade de μ{displaystyle mu }.

Exemplos |

• μ(E)={0,E=∅1,E=S{displaystyle mu (E)=left{{begin{array}{ll}0,&E=emptyset \1,&E=Send{array}}right.}

Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.

• Medida de Dirac:

δx0(E)={1,x0∈E0,c.c.{displaystyle delta _{x_{0}}(E)=left{{begin{array}{ll}1,&x_{0}in E\0,&c.c.end{array}}right.}

• As medidas de Borel e de Lebesgue em R{displaystyle mathbb {R} } verificam a propriedade λ[a,b]=b−a{displaystyle lambda [a,b]=b-a,!}
  

Medida complexa |

Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função μ:X→C{displaystyle mu :Xto mathbb {C} ,!} tal que:

• μ(∅)=0{displaystyle mu (emptyset )=0}


• 
  μ(⋃i=1∞Ei)=∑i=1∞μ(Ei){displaystyle mu left(bigcup _{i=1}^{infty }E_{i}right)=sum _{i=1}^{infty }mu (E_{i})}, para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.

Exemplos |

• Seja f:R→C{displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {C} ,} uma função complexa Lebesgue integrável. Então

ν(E):=∫Ef(x)dμ{displaystyle nu (E):=int _{E}f(x)dmu ,} define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de R.{displaystyle mathbb {R} .}

Propriedades |

Algumas medidas possuem propriedades adicionais:

• 
  Medida completa:

Se Z{displaystyle Z,} tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)

• 
  Medida invariante por translações:

μ(A+λ)=μ(A),  ∀A∈X{displaystyle mu (A+lambda )=mu (A),~~forall Ain X,}, onde A+λ={x+λ:x∈A}{displaystyle A+lambda ={x+lambda :xin A}}

(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)

• 
  Medida de Borel:

Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.

• 
  Regularidade interior:

μ(A)=supK⊆Aμ(K),  ∀A∈X{displaystyle mu (A)=sup _{Ksubseteq A}mu (K),~~forall Ain X} e K{displaystyle K,} são compactos.

• 
  Regularidade exterior:

μ(A)=infA⊆Vμ(V),  ∀A∈X{displaystyle mu (A)=inf _{Asubseteq V}mu (V),~~forall Ain X} e V{displaystyle V,} são abertos.

• 
  Medida finita: o espaço inteiro tem medida finita.

μ(S)<∞{displaystyle mu (S)<infty ,}

• 
  Medida σ−{displaystyle sigma -}finita: o espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.

S=⋃n=1∞En,  μ(En)<∞{displaystyle S=bigcup _{n=1}^{infty }E_{n},~~mu (E_{n})<infty }

• 
  Medida localmente finita: todo compacto é mensurável e tem medida finita

μ(K)<∞{displaystyle mu (K)<infty ,}, para todo compacto K{displaystyle K,}

O Wikilivros tem um livro chamado Medida e integração