Conjunto limitado
Em matemática, foram desenvolvidos vários conceitos de conjunto limitado cada um adaptado a seu contexto. A ideia de conjunto limitado está intimamente ligada à ideia de conjunto pré-compacto, ou seja, cujo fecho é compacto. Em espaços métricos completos de dimensão finita, estes conceitos coincidem.
Índice
1 Limitação em R{displaystyle mathbb {R} }
2 Definição em um espaço métrico
3 Definição em um espaço normado
4 Definição em um espaço linear topológico
5 Propriedades
6 Conjuntos d-limitados e τ{displaystyle tau }-limitados
7 Veja também
Limitação em R{displaystyle mathbb {R} }
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Um subconjunto dos números reais é limitado se estiver contido num intervalo fechado limitado, ou seja da forma [a,b] a<b{displaystyle [a,b]~~a<b,}![{displaystyle [a,b]~~a<b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7c1df2c43881ef54fee599cb1f8a9bd0d9acf48)
Se um subconjunto de R{displaystyle mathbb {R} }![{displaystyle (-infty ,a],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f78aafabf3bf4aac75f60aa98386683eda83d91)
Definição em um espaço métrico |
- Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.
Definição em um espaço normado |
As definições são equivalentes, frente à desigualdade triangular:
- Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.
- Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito centrada na origem.
Definição em um espaço linear topológico |
- Um conjunto E{displaystyle E}
é dito limitado se para toda vizinhança da origem V{displaystyle V}
, existe um escalar λ{displaystyle lambda }
tal que:
- E⊆λV{displaystyle Esubseteq lambda V}
Propriedades |
- Se A⊆B{displaystyle Asubseteq B}
e B{displaystyle B}
é limitado, A{displaystyle A}
é limitado.
- A união finita de limitados é um conjunto limitado.
- Todo conjunto pré-compacto E{displaystyle E}
Para provar esta última afirmação em um espaço métrico escreva:
E⊆E¯⊆⋃n=1∞B(x,n){displaystyle Esubseteq {overline {E}}subseteq bigcup _{n=1}^{infty }B(x,n)}, B(n,r){displaystyle B(n,r),}
é a bola de centro x e raio n.
Da compacidade, pode-se tomar uma sub-cobertura finita:
E⊆E¯⊆⋃n=1NB(x,n){displaystyle Esubseteq {overline {E}}subseteq bigcup _{n=1}^{N}B(x,n)}, B(n,r){displaystyle B(n,r),}
Em espaços lineares topológicos, imite a demonstração substituindo Bx,n{displaystyle B_{x,n},}
Conjuntos d-limitados e τ{displaystyle tau }-limitados |
Todo espaço métrico possui uma topologia induzida pela métrica. Quando este espaço métrico é também um espaço vetorial, pode acontecer de também ser uma espaço linear topológico. Neste caso, o conceito de conjunto limitado na métrica pode diferir do conceito de limitado na topologia. Usa-se a notação d-limitado e tau-limitado.
Cabe observar que um espaço linear topológico Hausdorff nunca é limitado.
Veja também |
- Compacidade
- Conjunto totalmente limitado
Teorema de Heine-Borel, um conjunto é compacto em Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}se e somente se é fechado e limitado.
