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O teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma função real, contanto que no domínio de interesse essa função se encontre limitada (inferior e superiormente) por duas funções, ambas convergentes para o mesmo limite.

Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas) |

Sejam f(x){displaystyle f(x)}, g(x){displaystyle g(x)} e h(x){displaystyle h(x)} funções reais definidas num domínio D⊆R{displaystyle Dsubseteq mathbb {R} } e seja a{displaystyle a} um ponto deste domínio, tais que:

• limx→af(x)=limx→ah(x)=L{displaystyle lim _{xto a}f(x)=lim _{xto a}h(x)=L}


• f(x)≤g(x)≤h(x){displaystyle f(x)leq g(x)leq h(x)}

Então, resulta destas condições que:

• limx→ag(x)=L{displaystyle lim _{xto a}g(x)=L}

Teorema do confronto aplicado a sucessões/sequências (Teorema das sucessões enquadradas) |

Sejam an{displaystyle a_{n}}, bn{displaystyle b_{n}} e cn{displaystyle c_{n}} sucessões de números reais tais que:

• limn→∞an=limn→∞cn=L{displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=lim _{nto infty }c_{n}=L}


• an≤bn≤cn{displaystyle a_{n}leq b_{n}leq c_{n}}

Então, resulta destas condições que:

• limn→∞bn=L{displaystyle lim _{nto infty }b_{n}=L}

Para L{displaystyle L} finito, a sucessão diz-se convergente (para L{displaystyle L}).

Exemplo (com x∈R{displaystyle xin mathbb {R} }) |

Gráfico alusivo ao teorema do confronto.

Considere o gráfico à direita, no qual estão representadas as funções: f(x)=1x2{displaystyle f(x)={frac {1}{x^{2}}}} (azul escuro), g(x)=sin⁡xx2{displaystyle g(x)={frac {sin x}{x^{2}}}} (cinzento tracejado) e h(x)=−1x2{displaystyle h(x)=-{frac {1}{x^{2}}}} (azul ciano).

Repare que a função g(x){displaystyle g(x)} está "enquadrada" (i.e., limitada inferior e superiormente) pelas outras duas funções:

• 
  h(x)≤g(x)≤f(x){displaystyle h(x)leq g(x)leq f(x)} ⇔−1x2≤sin⁡xx2≤1x2{displaystyle Leftrightarrow -{frac {1}{x^{2}}}leq {frac {sin x}{x^{2}}}leq {frac {1}{x^{2}}}}
  

e que

• 
  limx→+∞1x2=limx→+∞−1x2=0{displaystyle lim _{xto +infty }{frac {1}{x^{2}}}=lim _{xto +infty }-{frac {1}{x^{2}}}=0},

Conclui-se que o comportamento de g(x){displaystyle g(x)} à medida que x→+∞{displaystyle xto +infty } traduz-se analiticamente por:

limx→+∞sin⁡xx2=0{displaystyle lim _{xto +infty }{frac {sin x}{x^{2}}}=0}

O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x{displaystyle x} (nesse caso, x∈N{displaystyle xin mathbb {N} }).

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