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A função W de Lambert, devida ao matemático suíço Johann Heinrich Lambert, é a função transcendental que resolve a equação em y:

yey=x{displaystyle ye^{y}=x,}

Ou seja, se y = W(x), então y resolve y e^y = x.

A função W de Lambert pode ser vista como a função inversa de f(y)=yey{displaystyle f(y)=ye^{y},}, uma função decrescente para y<−1{displaystyle y<-1,} e crescente para y>−1{displaystyle y>-1,}. O mínimo global de f é dado por f(−1)=−1/e{displaystyle f(-1)=-1/e,}. Por esta razão W{displaystyle W,} é uma função multivalorada, mas pode ser definida univocamente como uma função real no intervalo (−1/e,∞){displaystyle (-1/e,infty ),}.

História |

Lambert primeiro considerou a Equação Transcendental de Lambert in 1758^[1] e isto levou a um artigo de Leonhard Euler em 1783^[2] que discutia o caso especial we^w. A função inversa de we^w foi primeiro descrita por Pólya e Szegö em 1925.^[3] função Lambert foi "redescoberto" por dez anos em aplicações especializadas, mas sua importância não é muito apreciado até a década de 1990. Quando foi anunciado que o escritório do Lambert deu uma solução exata para os autovalores de energia do sistema quântico correspondente ao modelo descrito pelo operador de Dirac para duplicar e, no caso da igualdade de encargos - um problema de física fundamental - e Corless desenvolvedores de outros sistemas Maple fez uma pesquisa bibliográfica e descobriu que esta função está em toda parte em aplicações práticas.^[4]

Diferenciação e integração |

Por diferenciação implícita, é que W satisfaz a equação diferencial ordinária.

z(1+W)dWdz=Wpara z≠−1/e,{displaystyle z(1+W){frac {dW}{dz}}=Wquad mathrm {para } zneq -1/e,,}

portanto:

dWdz=W(z)z(1+W(z))para z≠−1/e.{displaystyle {frac {dW}{dz}}={frac {W(z)}{z(1+W(z))}}quad mathrm {para } zneq -1/e,.}

A função W (x), e algumas expressões envolvendo W(x) pode ser integrada com a regra de substituição w = W(x), ou seja, x = w e^w:

∫W(x)dx=x(W(x)−1+1W(x))+C{displaystyle int W(x),dx=xleft(W(x)-1+{frac {1}{W(x)}}right)+C}

Série de Taylor |

A série de Taylor de W₀ em torno de 0 pode ser resolvido pelo teorema de inversão de Lagrange, que é derivada de:

W0(x)=∑n=1∞(−n)n−1n! xn=x−x2+32x3−83x4+12524x5−⋯{displaystyle W_{0}(x)=sum _{n=1}^{infty }{frac {(-n)^{n-1}}{n!}} x^{n}=x-x^{2}+{frac {3}{2}}x^{3}-{frac {8}{3}}x^{4}+{frac {125}{24}}x^{5}-cdots }

O raio de convergência é de 1/e, como mostrado pelo critério de d'Alembert. A função definida pela série pode ser estendida a uma função holomorfa definida para todos os números complexos, com um corte de ramo no intervalo (−∞, -1/e]; a função holomorfa definida acima do ramo principal da função W de Lambert.

Generalizações |

O padrão Lambert W funçãoi expressa soluções exatas transcendentais equações algébricas (em x) da forma:

e−cx=ao(x−r)  (1){displaystyle e^{-cx}=a_{o}(x-r)~~quad qquad qquad qquad qquad (1)}

onde a₀, c e R são constantes reais. A solução é x=r+W(ce−cr/ao)/c{displaystyle x=r+W(ce^{-cr}/a_{o})/c}. Generalizações da função W de Lambert^[5][6][7] incluem:

• Umas aplicaçãoi para a relatividade geral ea mecânica quântica (gravitação quântica) em dimensões inferiores, na verdade um link anteriormente desconhecido (desconhecido antes do papel 2007 por Farrugia, Mann e Scott^[8]) entre estas duas áreas, onde a mão-direita dos lados de (1) é agora um polinomial quadrática em x:

e−cx=ao(x−r1)(x−r2)  (2){displaystyle e^{-cx}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~qquad qquad (2)}

e em que r₁ e r₂ são reais constantes de distintas, as raízes do polinômio quadrático. Aqui, a solução é uma função tem um argumento x único, mas como os termos e r_i e a_o são parâmetros dessa função. A este respeito, a generalização assemelha a hipergeométrica função ea função Meijer-G mas que pertence a uma classe diferente de funções. Quando r₁ = r₂ ambos os lados da (2) pode ser tomada e reduzido a (1) e, portanto, reduz-se a solução a que a função de W padrão. Eq. (2) expressa a equação que rege a Dilaton campo, a partir da qual é derivada a métrica do R = T ou linear de dois corpos problema gravidade em 1 +1 dimensões (uma dimensão espacial e uma dimensão temporal) para o caso de desigualdade (resto massas), bem como, os eigenenergies da mecânica quântica dupla bem Dirac modelo função delta de taxas desiguais em uma dimensão.

• Soluções analíticas das eigenenergies de um caso especial da mecânica quântica problema dos três corpos, ou seja, o íon molecular de hidrogênio (três dimensões).^[9] Aqui, o lado direito de (1) (ou (2)) agora é uma razão de polinômios ordem infinita em x:

e−cx=ao∏i=1∞(x−ri)∏i=1∞(x−si)(3){displaystyle e^{-cx}=a_{o}{frac {prod _{i=1}^{infty }(x-r_{i})}{prod _{i=1}^{infty }(x-s_{i})}}qquad qquad qquad (3)}

onde r_i e s_i são distintos constantes reais e x é uma função da distância e da eigenenergy internuclear R. Eq. (3) com os seus casos especializados expressa em (1) e (2) está relacionado com uma classe grande de equações diferenciais de atraso. Gracas a nocao de Hardy de um "derivativo de falso", exato varias raizes foram encontrados para casos especiais de equação (3).^[10]

As aplicações função W de Lambert de problemas físicos fundamentais não se esgotam, mesmo para o caso padrão expressa em (1), como visto recentemente na área da física atómica, molecular, e ópticos.^[11]

Referências