Bdtyktl

A Matriz Jacobiana (denominado do matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Se uma função é diferenciável num ponto, a sua derivada é dada em coordenadas pela Jacobiana, mas uma função não precisa ser diferenciável para a existência da Jacobiana; basta que as derivadas parciais existam.

Definição formal |

Seja F:Rn→Rm{displaystyle F:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}, ou seja, uma função que denominaremos "F", com domínio e imagem no espaço euclidiano n e m dimensional, respectivamente. Tal função é definida por um vetor de m componentes, sendo cada componente uma função Fi:Rn→R{displaystyle F_{i}:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} } . As derivadas parciais dessas funções podem ser organizadas numa matriz m x n, que é denominada Matriz Jacobiana.
Assim, a Jacobiana é definida como:

Em linguagem matemática	Em Português
[∂F1∂x1⋯∂F1∂xn⋮⋱⋮∂Fm∂x1⋯∂Fm∂xn]{displaystyle {begin{bmatrix}{frac {partial F_{1}}{partial x_{1}}}&cdots &{frac {partial F_{1}}{partial x_{n}}}\vdots &ddots &vdots \{frac {partial F_{m}}{partial x_{1}}}&cdots &{frac {partial F_{m}}{partial x_{n}}}end{bmatrix}}}	Matriz de m linhas e n colunas. A primeira linha representa as derivadas parciais da função F1{displaystyle F_{1}} em relação a todos os x (de x1 a xn). A segunda linha representa as derivadas parciais de F2{displaystyle F_{2}} (também em relação a todos os x), e assim por diante, até a linha de número m, que representa as derivadas parciais de Fm{displaystyle F_{m}} em relação a todos os xs.

Notação |

A Jacobiana é representada por JF(x1,…,xn){displaystyle J_{F}(x_{1},ldots ,x_{n})} ou ∂(F1,…,Fn)∂(x1,…,xn){displaystyle {frac {partial (F_{1},ldots ,F_{n})}{partial (x_{1},ldots ,x_{n})}}}

A k-ésima linha da matriz é dada pela transposta do gradiente de Fk{displaystyle F_{k}}

Determinante Jacobiano |

O Jacobiano é definido como sendo o determinante da Jacobiana. Ele é de grande importância na mudança de variáveis em integrais múltiplas e no Teorema da Função Inversa.

Exemplos |

• 
  Exemplo 1: Seja F(x,y)=(x2+y2,xy){displaystyle F(x,y)=(x^{2}+y^{2},xy)} . Aqui, F1=x2+y2{displaystyle F_{1}=x^{2}+y^{2}} e F2=xy{displaystyle F_{2}=xy}. A matriz jacobiana de F é:

JF(x,y)=[∂F1∂x∂F1∂y∂F2∂x∂F2∂y]=[2x2yyx]{displaystyle J_{F}(x,y)={begin{bmatrix}{frac {partial F_{1}}{partial x}}&{frac {partial F_{1}}{partial y}}\&\{frac {partial F_{2}}{partial x}}&{frac {partial F_{2}}{partial y}}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}2x&2y\y&xend{bmatrix}}}^[1]

O determinante Jacobiano é 2(x2−y2){displaystyle 2(x^{2}-y^{2})} .

• 
  Exemplo 2: Vamos montar a Jacobiana da mudança de variáveis cartesianas para polares. A função que faz a transformação é:

{x=rcos⁡θy=rsen⁡θ{displaystyle left{{begin{matrix}x=rcos theta \y=roperatorname {sen} theta end{matrix}}right.}

A Jacobiana é dada então por:

∂(x,y)∂(r,θ)=[cos⁡θ−rsen⁡θsen⁡θrcos⁡θ]{displaystyle {frac {partial (x,y)}{partial (r,theta )}}={begin{bmatrix}cos theta &-roperatorname {sen} theta \operatorname {sen} theta &rcos theta end{bmatrix}}}

O Jacobiano é r{displaystyle r}.
portanto poderá se feito de acordo com alguns métodos matemáticos

• 
  Exemplo 3 (mudança de variáveis em Estatística, relacionado à distribuição de Erlang):^[2] Seja (X,Y) um par aleatório absolutamente contínuo com densidade de probabilidade conjunta fx,y(x,y){displaystyle f_{x,y}left(x,yright)}. Seja também G uma função G:R2 →R2{displaystyle G:mathbb {R} ^{2} rightarrow mathbb {R} ^{2}} injectiva (portanto com inversa) com dois componentes G(x,y) = (u,v). Cada um destes componentes é função de duas variáveis reais, tal que

{u=g1(x,y)v=g2(x,y){displaystyle left{{begin{matrix}u=&g_{1}(x,y)\v=&g_{2}(x,y)end{matrix}}right.}, sendo que g1 e g2 possuem derivadas parciais em relação a x e a y

Portanto, podemos definir o par aleatório (U,V)=G(X,Y). Como determinar a densidade de probabilidade conjunta do par (U,V) a partir da densidade conjunta de (X,Y)?

Como G tem inversa, podemos escrever:

{x=h1(u,v)y=h2(u,v){displaystyle left{{begin{matrix}x=&h_{1}(u,v)\y=&h_{2}(u,v)end{matrix}}right.}

A densidade conjunta de (U,V) será:
fU,V(u,v)=|J|fX,Yh1(u,v)h2(u,v){displaystyle f_{U,V}(u,v)=left|Jright|f_{X,Y}h_{1}(u,v)h_{2}(u,v)}, em que |J|{displaystyle left|Jright|} representa o módulo do determinante jacobiano, isto é, o módulo de |∂h1(u,v)∂u∂h1(u,v)∂v∂h2(u,v)∂u∂h2(u,v)∂v|{displaystyle {begin{vmatrix}{frac {partial h_{1}(u,v)}{partial u}}&{frac {partial h_{1}(u,v)}{partial v}}\{frac {partial h_{2}(u,v)}{partial u}}&{frac {partial h_{2}(u,v)}{partial v}}end{vmatrix}}}.

Assim, digamos que (U,V) = (X+Y,X-Y). Teremos então

{u=x+yv=x−y⟶{x=u−yy=x−v⟶{x=u−(x−v)y=(u−y)−v⟶{displaystyle left{{begin{matrix}u=&x+y\v=&x-yend{matrix}}right.longrightarrow left{{begin{matrix}x=&{color {Blue}u-y}\y=&{color {Red}x-v}end{matrix}}right.longrightarrow left{{begin{matrix}x=&u-({color {Red}x-v})\y=&({color {Blue}u-y})-vend{matrix}}right.longrightarrow } {x=h1(u,v)=u+v2y=h2(u,v)=u−v2{displaystyle left{{begin{matrix}x=&h_{1}(u,v)=&{frac {u+v}{2}}\y=&h_{2}(u,v)=&{frac {u-v}{2}}end{matrix}}right.}

O determinante jacobiano neste caso (chamado de jacobiano da transformação^[3]) será
|∂h1(u,v)∂u∂h1(u,v)∂v∂h2(u,v)∂u∂h2(u,v)∂v|{displaystyle {begin{vmatrix}{frac {partial h_{1}(u,v)}{partial u}}&{frac {partial h_{1}(u,v)}{partial v}}\{frac {partial h_{2}(u,v)}{partial u}}&{frac {partial h_{2}(u,v)}{partial v}}end{vmatrix}}} =|121212−12|=|−12|{displaystyle ={begin{vmatrix}{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}\{frac {1}{2}}&-{frac {1}{2}}end{vmatrix}}=left|-{frac {1}{2}}right|}. O módulo deste determinante é 12{displaystyle {frac {1}{2}}}. A função densidade de probabilidade conjunta é, portanto:

fU,V(u,v)=|J|fX,Yh1(u,v)h2(u,v)=12fX,Y(u+v2,u−v2){displaystyle f_{U,V}(u,v)=left|Jright|f_{X,Y}h_{1}(u,v)h_{2}(u,v)={frac {1}{2}}f_{X,Y}left({frac {u+v}{2}},{frac {u-v}{2}}right)}

Aproximação linear |

A Jacobiana representa a melhor aproximação linear de uma função diferenciável nas vizinhanças de um ponto. Semelhante à aproximação de funções de uma variável pela derivada, uma função vetorial F diferenciável num ponto x0{displaystyle mathbf {x_{0}} } pode ser aproximada por:

F(x)≈F(x0)+JF(x0)⋅(x−x0)T{displaystyle F(mathbf {x} )approx F(mathbf {x_{0}} )+J_{F}(mathbf {x_{0}} )cdot (mathbf {x} -mathbf {x_{0}} )^{T}}

sendo x{displaystyle mathbf {x} } um ponto próximo de x0{displaystyle mathbf {x_{0}} }.
Essa aproximação é de grande importância no cálculo numérico, onde a Jacobiana e o seu determinante são utilizados para resolver sistemas não-lineares pelo método de Newton (ou método do Gradiente Iterativo).

Ver também |

• Matriz Hessiana

Referências