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Na análise funcional, operadores compactos formam uma família de operadores lineares limitados entre espaços de Banach. Grosseiramente falando, a compacidade é critério mais restritivo que a continuidade, suficiente para que certas propriedades dos operadores de posto finito sejam válidas. Em espaços de Hilbert, pode-se mostrar que, de fato, operadores compactos são limites (na norma operacional) de operadores de posto finito.

A importância do estudo destes operadores surgiu basicamente do desenvolvimento de uma teoria espectral para os mesmos e da validade de uma versão da alternativa de Fredholm, mostrando que o problema (λT+I)u=f{displaystyle left(lambda T+Iright)u=f,} se comporta como em dimensão finita.

Definição |

Sejam X{displaystyle X,} e Y{displaystyle Y,} espaços de Banach e T:X→Y{displaystyle T:Xto Y,} um operador linear. T{displaystyle T,} é dito operador linear compacto se a imagem de conjuntos limitados em X{displaystyle X,} é conjunto pré-compacto em Y{displaystyle Y,}, ou seja, se:

T(B)¯{displaystyle {overline {T(B)}},} é compacto, para todo B{displaystyle B,} limitado.

Equivalentemente, T{displaystyle T,} é compacto se para toda seqüência limitada xn{displaystyle x_{n},}, existe uma subseqüência {xnk}k=1∞⊆{xn}n=1∞{displaystyle {x_{n_{k}}}_{k=1}^{infty }subseteq {x_{n}}_{n=1}^{infty }} tal que Txnk{displaystyle Tx_{n_{k}},} é convergente.

Exemplo |

Considere X=C1[0,1]{displaystyle X=C^{1}[0,1],}, o espaço das funções continuamente diferenciáveis no intervalo [0,1]{displaystyle [0,1],} e Y=C0[0,1]{displaystyle Y=C^{0}[0,1],}, o espaço das funções contínuas no mesmo intervalo; munidos das seguintes normas:

• ‖f‖X=sup[0,1]|f(x)|+sup[0,1]|f′(x)|{displaystyle |f|_{X}=sup _{[0,1]}|f(x)|+sup _{[0,1]}|f'(x)|,}


• ‖f‖Y=sup[0,1]|f(x)|{displaystyle |f|_{Y}=sup _{[0,1]}|f(x)|,}

Considere, ainda, o operador linear T{displaystyle T,} como sendo a inclusão de X{displaystyle X,} em Y{displaystyle Y,}.

Se fn{displaystyle f_{n},} é uma seqüência limitada em X{displaystyle X,}, então fn{displaystyle f_{n},} formam uma família equicontínua e equilimitada de funções definidas em um espaço compacto. Pelo teorema de Arzelà-Ascoli, existe uma seqüência {fnk}k=1∞,{displaystyle {f_{n_{k}}}_{k=1}^{infty },} convergindo uniformemente para algum ponto limite. Como convergência uniforme é equivalente com convergência na norma do supremo, temos que a inclusão é um operador compacto.

Inclusão compacta |

Seja X⊆Y{displaystyle Xsubseteq Y,} dois espaços de Banach, dizemos que X{displaystyle X,} está compactamente contido em Y{displaystyle Y,} e escrevemos X⊂⊂Y{displaystyle Xsubset subset Y,} se a função inclusão I:X→Y{displaystyle I:Xto Y,} é um operador compacto entre estes espaços.

Ver também |

• Teorema de Hilbert-Schmidt