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Em matemática, uma transformada integral é qualquer transformação linear T da seguinte forma:

(Tf)(u)=∫t1t2f(t)K(t,u)dt.{displaystyle (Tf)(u)=int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t),K(t,u),dt.}

A entrada desta transformada é uma função f, e o resultado é outra função Tf. Uma transformada integral é uma espécie particular de operadores matemáticos.

Em geral, cada transformada integral corresponde a uma diferente escolha da função K, que é chamada de kernel (ou núcleo) da transformada, e dos limites de integração t1{displaystyle t_{1}} e t2{displaystyle t_{2}}. A conveniência de cada transformada depende do tipo de problema abordado. Por exemplo, a Transformada de Laplace costuma ser mais conveniente para problemas com dependência temporal e a Transformada de Fourier mais conveniente para problemas com dependência espacial.

Aplicabilidade |

A metodologia da transformada integral é uma entre as metodologias de grande valia empregadas na busca de soluções para equações diferenciais não triviais. Esta metodologia consiste em aplicar uma transformada integral específica a um determinado problema, reduzindo-o a um problema, em geral, mais simples de ser resolvido. Resolve-se o problema transformado e recupera-se a solução do problema original através da respectiva transformada inversa.

Constitui ferramenta de suma relevância em áreas envolvendo ciências naturais e tecnologia. Em um caso típico, durante a análise de circuitos, a transformada de Fourier permite que um dado sinal inicialmente expresso no domínio do tempo seja adequadamente transcrito para o domínio da frequência, fornecendo o espectro correspondente e permitindo, por exemplo, a compreensão dos filtros passa-faixa eletrônicos utilizados na separação de estações distintas nos rádios de difusão e nos transceptores.

A técnica de ressonância magnetonuclear emprega também transformadas integrais tridimensionais, a fim de, a partir do sinal coletado durante o exame, gerar a imagem direta do órgão, tecido ou objeto em foco. Sem tal recurso, geralmente levado a cabo em um computador, não se poderia obter as imagens características do exame, cujo princípio de funcionamento difere bastante de uma simples radiografia.

Como mais um exemplo, no estudo, projeto e manutenção de controladores proporcionais integrais derivativos (PID), empregados para controlar motores de servomecanismos específicos ou em plantas industriais as mais variadas - a exemplo na indústria automobilística - a transformada de Laplace mostra-se indispensável; e da mesma forma, cada uma das demais transformadas integrais é de grande valia em áreas que abarquem problemas modelados por equações diferenciais, cujas soluções atrelam-se às soluções físicas ou práticas almejadas ou observadas. Constituem valiosas ferramentas sobretudo para a física e engenharia.

Tabela |

Tabela de Transformadas integrais

Transformada	Símbolo	Núcleo da transformada	t1	t2
Transformada de Fourier	F{displaystyle {mathcal {F}}}	eiut2π{displaystyle {frac {e^{iut}}{sqrt {2pi }}}}	−∞{displaystyle -infty }	∞{displaystyle infty }
Transformada de Mellin	M{displaystyle {mathcal {M}}}	tu−1{displaystyle t^{u-1}}	0{displaystyle 0}	∞{displaystyle infty }
Transformada de Laplace bilateral	B{displaystyle {mathcal {B}}}	e−ut{displaystyle e^{-ut}}	−∞{displaystyle -infty }	∞{displaystyle infty }
Transformada de Laplace	L{displaystyle {mathcal {L}}}	e−ut{displaystyle e^{-ut}}	0{displaystyle 0}	∞{displaystyle infty }
Transformada de Hankel	K{displaystyle {mathcal {K}}}	tJν(ut){displaystyle t,J_{nu }(ut)}	0{displaystyle 0}	∞{displaystyle infty }
Transformada de Abel	A{displaystyle {mathcal {A}}}	tt2−u2{displaystyle {frac {t}{sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}	u{displaystyle u}	∞{displaystyle infty }
Transformada de Hilbert	H{displaystyle {mathcal {H}}}	1π1u−t{displaystyle {frac {1}{pi }}{frac {1}{u-t}}}	−∞{displaystyle -infty }	∞{displaystyle infty }
Transformada Identidade	I{displaystyle {mathcal {I}}}	δ(u−t){displaystyle delta (u-t)}	t1<u{displaystyle t_{1}<u}	t2>u{displaystyle t_{2}>u}
Transformada de cosseno	C{displaystyle {mathcal {C}}}	2cos(ut){displaystyle 2cos(ut)}	0{displaystyle 0}	∞{displaystyle infty }
Transformada de wavelet	W{displaystyle {mathcal {W}}}	[1sw(t−us)]∗{displaystyle left[{frac {1}{sqrt {s}}};wleft({frac {t-u}{s}}right)right]^{*}} [nota 1]	−∞{displaystyle -infty }	∞{displaystyle infty }

Apesar de as propriedades das transformadas integrais variarem muito, elas têm algumas propriedades em comum.
Por exemplo, qualquer transformada integral é um operador linear, uma vez que o integral é um operador linear e na verdade caso o kernel seja permitido ser uma função generalizada, então todos os operadores lineares são transformadas integrais (o teorema kernel de Schwartz é uma versão formalizada desta afirmação).

Núcleo da transformada |

Em análise matemática, considere-se uma transformada integral T que transforma uma função f numa função Tf dada pela fórmula

(Tf)(x)=∫abk(x,y)f(y)dy{displaystyle (Tf)(x)=int _{a}^{b}k(x,y)f(y),dy}

A função k(x,y) que aparece nesta fórmula é o núcleo (em inglês: kernel) do operador linear T.

Alguns núcleos possuem núcleos inversos K−1(u,t){displaystyle K^{-1}(u,t)} onde (rigorosamente falando) rendem transformações inversas:

f(t)=∫u1u2K−1(u,t)(Tf(u))du.{displaystyle f(t)=int _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(u,t),(Tf(u)),du.}

Um núcleo simétrico é um núcleo em que as duas variáveis são permutáveis. Hankel demonstrou que núcleos simétricos tais que

g(u)=(Tf)(t)=∫0∞f(t)⋅K(u,t)dt{displaystyle g(u);=;(Tf)(t);=;int _{0}^{infty }f(t)cdot K(u,t);dt}

e

f(t)=(T−1g)(u)=∫0∞g(u)⋅K(u,t)du{displaystyle f(t);=;(T^{-1}g)(u);=;int _{0}^{infty }g(u)cdot K(u,t);du}

podem ser gerados a partir das expressões

K(u,t)=(ut)12⋅Jν(xs){displaystyle K(u,t);=;(ut)^{frac {1}{2}}cdot J_{nu }(xs)}

ou

K(u,t)=t⋅Jν(xs){displaystyle K(u,t);=;tcdot J_{nu }(xs)}

O caso especial ν = 0 leva diretamente à Transformada de Hankel de ordem 0. O caso especial ν = ±½ leva aos núcleos 2cos(2πut) e 2sen(2πut), que estão relacionados à transformada de Hartley^[1].

Em geral, os núcleos são famílias de funções ortogonais, ou ainda, ortonormais.

A Transformada de Karhunen-Loève |

As transformadas listadas na tabela acima possuem um núcleo bem definido. Uma transformada integral que não possui essa característica é transformada de Karhunen-Loève (KLT, do inglês Karhunen-Loève transform); neste caso, a base ortogonal usada no núcleo varia com a função a ser transformada. A KLT é importante do ponto de vista teórico porque demonstra-se que ela é ótima sob vários aspectos importantes para o processamento digital de sinais^[2].

História |

Historicamente, a origem das transformadas integrais remonta ao trabalho de Laplace sobre a teoria da probabilidade, La Théorie
Analytique des Probabilities, na década de 1780. Nesse livro aparece a transformada de Laplace, que é, assim, a transformada mais antiga de todas.

O próximo evento importante foi o tratado de Fourier, La Théorie Analytique de la Chaleur, de 1822. Nesse livro aparece o teorema integral de Fourier, bem como as séries e integrais de Fourier, e suas aplicações. Alguns dos resultados de Fourier já eram conhecidos por Laplace, Cauchy e Poisson.

Décadas depois, Heaviside utilizou a transformada de Laplace com sucesso na solução de equações diferenciais ordinárias e parciais relacionadas à análise de circuitos elétricos. Heaviside lançou mão também da idéia do uso de símbolos operadores, lançada por Leibniz e desenvolvida por depois por Lagrange e Laplace, e unindo essas técnicas, criou o que se conhece hoje como cálculo operacional, em seu artigo On Operational Methods in Physical Mathematics, em duas partes, publicadas em 1892 e 1893, e em seu livro Electromagnetic Theory, de 1899.

Apesar do sucesso na aplicação prática, o trabalho de Heaviside foi muito criticado pelos matemáticos por falta de provas rigorosas que justificassem alguns dos seus métodos heurísticos. Assim, seguiu-se um esforço para fornecer tais provas. Bromwich conseguiu provar alguns teoremas por meio da teoria das funções complexas. Seguiram-se as contribuições de Carson, van der Pol e Doetsch, entre outros.

Outras transformações integrais foram introduzidas por Mellin (a transformada de Mellin, já parcialmente conhecida por Riemann), Hankel (a transformada homônima), Hilbert (a transformada de Hilbert, desenvolvida por Hardy e Titchmarsh), Stieltjes (a transformada homônima), Radon (a transformada homônima) e outros. O estudo das transformadas integrais é intenso atualmente e novas transformações importantes foram descobertas recentemente, como é o caso da transformada de wavelet, enunciada por Morlet em 1982^[3].

Notas e referências |

Ver também |

• Transformada de Legendre


• Anexo:Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier

Referências